Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки М(1;2) функцию f(x,y) = 3x^2-2y^2+6xy

тайлер? я же говрил не упоменать меня!

Разложение функции \( f(x,y) = 3x^2 - 2y^2 + 6xy \) по формуле Тейлора в окрестности точки \( M(1;2) \) выглядит следующим образом:

\( f(x,y) \approx f(1,2) + f'_x(1,2)(x-1) + f'_y(1,2)(y-2) + \frac{1}{2}f''_{xx}(1,2)(x-1)^2 + \frac{1}{2}f''_{yy}(1,2)(y-2)^2 + f''_{xy}(1,2)(x-1)(y-2) + \ldots \)

Где \( f'_x \) и \( f'_y \) - частные производные первого порядка по \( x \) и \( y \) соответственно, \( f''_{xx} \), \( f''_{yy} \), и \( f''_{xy} \) - частные производные второго порядка.

Подставляя значения точки \( M(1;2) \), получаем:

\( f(1,2) = 3(1)^2 - 2(2)^2 + 6(1)(2) = 10 \),
\( f'_x(1,2) = 6x + 6y \) при \( x=1 \) и \( y=2 \) равно \( 18 \),
\( f'_y(1,2) = -4y + 6x \) при \( x=1 \) и \( y=2 \) равно \( -2 \),
\( f''_{xx}(1,2) = 6 \),
\( f''_{yy}(1,2) = -4 \),
\( f''_{xy}(1,2) = 6 \).

Таким образом, разложение функции \( f(x,y) \) по формуле Тейлора в окрестности точки \( M(1;2) \) будет выглядеть так:

\( f(x,y) \approx 10 + 18(x-1) - 2(y-2) + 3(x-1)^2 - (y-2)^2 + 6(x-1)(y-2) \).

Это разложение помогает понять, как функция будет вести себя вблизи точки \( M(1;2) \), и является мощным инструментом в анализе функций многих переменных. Но помните, это всего лишь приближение, так что не стоит полагаться на него, если ваш космический корабль зависит от точных расчетов в многомерном пространстве!