Линейная алгебра, помогите вспомнить основы.

Двойственное пространство (также называемое дуальным или сопряжённым пространством) — это пространство линейных функционалов на заданном векторном пространстве. В случае конечномерного векторного пространства, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на нём.
Отображение элементом двойственного пространства вектора является линейным, потому что каждый элемент двойственного пространства — это линейный функционал, и по определению линейного функционала, он обладает свойством линейности. Это означает, что для любых векторов u и v и любых скаляров α, β из поля F, выполняется условие F (αu + βv) = αF (u) + βF (v).
Одинаковость размерностей пространств является необходимым, но не достаточным условием для доказательства изоморфизма. Для того чтобы два пространства были изоморфны, необходимо, чтобы существовало биективное отображение между ними, которое сохраняет структуру пространств. То есть, помимо одинаковой размерности, необходимо, чтобы отображение было линейным

Вопрос философский