Геометрия 8 класс

Задание 1:
Дано: Равнобедренный треугольник MNK с основанием MK, биссектрисой MD, угол MDN = 45°, MD = 6√3.
Найти: Длину основания MK.

Решение (с рисунком):

```
N
/\
/ \
/ \
/ \
M---D---K
```

1) В равнобедренном треугольнике MNK углы при основании MK равны (180° - MDN) / 2 = (180° - 45°) / 2 = 67.5°.
2) Угол MDK = 67.5° (противоположные углы при биссектрисе равны).
3) Используя тригонометрические соотношения для угла 67.5°:
sin 67.5° ≈ 0.923, cos 67.5° ≈ 0.384.
4) Из прямоугольного треугольника MDK: MD / MK = sin 67.5°, отсюда MK = MD / sin 67.5° = 6√3 / 0.923 ≈ 12.

Ответ: Длина основания MK равна 12.

Задание 2:
Дано: Окружность с центром O, касательные KM и KL из точки K, M и L - точки касания, KO = диаметру окружности.
Найти: Градусную меру большей дуги ML.

Решение (с рисунком):

```
M
/\
/ \
/ \
/ \
K---O---L
```

1) Угол MKO = 90° (касательная перпендикулярна радиусу).
2) Угол LKO = 90° (по той же причине).
3) Следовательно, угол MLK = 180° - MKO - LKO = 180° - 90° - 90° = 0°.
4) Большая дуга ML образует развернутый угол, т.е. 180°.

Ответ: Градусная мера большей дуги ML равна 180°.

Задание 3:
Дано: Параллелограмм ABCD, AC ⊥ BD, MN = 12 см (M и N - середины BC и CD), AC = 32 см.
Найти: Периметр параллелограмма ABCD.

Решение (с рисунком):

```
A-------------------B
| |
| |
M------------------N |
| |
| |
C-------------------D
```

1) В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD, BC = AD.
2) Из равенства треугольников AMN и BMC (по трем сторонам): AM = BM = BC/2.
3) Тогда AB = AC - 2AM = 32 - 2 * BC/2 = 32 - BC.
4) Из равенства треугольников AMC и BMD (по гипотенузе и катету): BC = BD.
5) Следовательно, AB = CD = 32 - BC = 32 - BD.
6) Из условия MN = 12 см, находим, что BC = BD = 24 см.
7) Тогда AB = CD = 32 - 24 = 8 см.
8) Периметр = AB + BC + CD + AD = 8 + 24 + 8 + 24 = 64 см.

Ответ: Периметр параллелограмма ABCD равен 64 см.

Задание 4:
Дано: Прямоугольная трапеция MNKP с основаниями NK и MP, площадь S = 216 см², угол KPM = 45°, KH = NK (KH - высота, опущенная из K на MP).
Найти: Длину большего основания MP.

Решение (с рисунком):

```
M---------------P
/ \
/ \
/ \
N---------------------K
|
H
```

1) Площадь трапеции S = (NK + MP) * KH / 2.
2) По условию KH = NK, следовательно, S = (NK + MP) * NK / 2.
3) Из прямоугольного треугольника KPM: KP = KM * tg 45° = KM.
4) Тогда MP = NK + 2KM.
5) Подставляя в формулу площади: 216 = (NK + NK + 2KM) * NK / 2 = 3NK^2 / 2 + 2KM * NK.
6) Решая квадратное уравнение, получаем NK = 12 см.
7) Следовательно, MP = 12 + 2 * 12 = 36 см.

Ответ: Длина большего основания MP равна 36 см.

Задание 5:
Дано: Равносторонний треугольник ABC, описанная окружность с радиусом R = 5√3 см.
Найти:
а) Площадь треугольника ABC.
б) Радиус вписанной окружности.
в) Длину меньшей дуги AC.

Решение (с рисунками):

а) Площадь треугольника ABC:

```
A
/\
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
B---------------C
```

1) В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
2) Сторона треугольника a = 2R * sin 60° = 2 * 5√3 * √3/2 = 15 см.
3) Площадь S = a^2 * √3 / 4 = 15^2 * √3 / 4 = 225 * √3 / 4 ≈ 108.7 см^2.

б) Радиус вписанной окружности:

```
A
/\
/r \
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
B---------------C
```

Здравствуй! Ты так и не нашел нормальных ответов? А то я тоже в активном поиске..