Если вертолет остается неподвижным на высоте, почему вращающаяся под ним Земля не смещает его?

ветер дует немного и двигает вертолёт

Потому что воздух вращается вместе с Землей. Нет никакой причины для "смещения".

Когда вертолет взлетает и достигает стабильного положения в воздухе, он продолжает двигаться вместе с вращением Земли из-за закона сохранения импульса. В момент взлета вертолет уже имеет горизонтальную скорость вращения Земли, и, если на него не действуют внешние силы (кроме гравитации), эта скорость сохраняется. Это означает, что, несмотря на то что вертолет кажется неподвижным относительно поверхности земли, он все же продолжает движение вместе с Землей, подобно тому как пассажиры внутри летящего самолета не ощущают его движения.

Нужно время. Если вертолёт продержится в воздухе 24 часа, то он совершит кругосветное путешествие на своей широте. (Но это лишь теория).

Закон сохранения земного импульса-блеф, ибо земля, т. е. наша вселенная, неподвижна и стационарна...

Атмосфера вращается вместе с планетой,а не по отдельности.Вот поэтому он остаётся на месте.

Смещает, однако. Вместе с атмосферой, в которой он "остается неподвижным на высоте". И вертолёт и атмосфера смещается вместе с Землёй.

Потому что в момент отрыва от Земли он летел вместе с нею по направлению вращения Земли и это движение сохранилось и после отрыва. То же самое делает и атмосфера Земли, иначе бы нас сдуло ураганным ветром.