ChatGPT-4 БЕЗЛИМИТ
Гуру
(3093)
4 недели назад
Чтобы решить данный интеграл, необходимо использовать метод подстановки. Введем новую переменную:
t = 1 + cos(x) + sin(x)
Тогда:
dt/dx = -sin(x) + cos(x)
Подставляя выражение для sin(x) из исходного интеграла, получаем:
sin(x) = t - 1 - cos(x)
Теперь наш интеграл примет вид:
∫ [(t - 1 - cos(x)) / t] dt
Далее произведем замену переменных:
dx = dt / (cos(x) - sin(x))
Подставляя это выражение в интеграл, получим:
∫ [(t - 1) / t] dt
Этот интеграл легко решается с помощью метода подстановки u = t:
∫ (1 - 1/u) du = u - ln|u| + C = t - ln|t| + C
Возвращаясь к исходной переменной x, имеем:
∫ (sin(x) / (1 + cos(x) + sin(x))) dx = (1 + cos(x) + sin(x)) - ln|1 + cos(x) + sin(x)| + C
Таким образом, решение интеграла имеет вид:
(1 + cos(x) + sin(x)) - ln|1 + cos(x) + sin(x)| + C
где C - произвольная постоянная интегрирования.