Математика 7 класс

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC. Периметр треугольника ABC равен 33, значит, средняя длина стороны треугольника ABC равна 33/3 = 11.

Теперь обратимся к треугольнику MTI. Его периметр равен 11. Поскольку TI параллельно BC, отношение длин сторон MT и TI равно отношению сторон треугольников ABC и MTI. Таким образом, MT/TI = 11/33, значит MT = 11/3.

Аналогично, для треугольника SNI можно найти SN.

Теперь, так как IK параллельно AC, а IL параллельно BC, отношение IK и KL равно отношению сторон треугольника ABC и треугольника IKL. Поскольку мы знаем периметр SNI и MTI, мы можем найти IS и IN, а затем и SN.

Теперь, когда у нас есть все стороны треугольника IKL, мы можем найти его периметр, который равен сумме длин сторон IK, KL и IL.

Малые треугольники, периметры которых указаны и нужно найти, подобны между собой и большому треугольнику в силу паралельности сторон..
Если стороны малых треугольников паралельным переносом вынести на стороны большого, то вяснится, что их сумма и составляет его периметр. Отсюда искомый периметр
P = 33 - 8 - 11 = 14.

Рассмотрим четырехугольник lNBM. У него противоположные стороны попарно параллельны (по условию). Значит, это параллелограмм. У параллелограмма противоположные стороны попарно равны (отмечены одним и двумя штрихами). Значит, BM = Nl и BN= Ml.
Аналогично можно доказать, что четырехугольники при остальных вершинах (А и С) также параллелограммы с равными попарно сторонами. И отрезки строн тр-ка АВС можно заменить сторонами треугольников, образованных параллельными прямыми.
Если сложить все отрезки, из которых состоит периметр тр-ка АВС, мы действительно получим сумму периметров трех треугольников: IKL , SNI и MTI. Эта сумма равна, по условию, 33 = периметр IKL + 8 + 11
Отсюда периметр IKL = 33-8-11 = 14
*********************
Непонятно, зачем в условии говорится о точке пересечения биссектрис:. св-ва биссектрис не используются. Подобное решение подходит для любой точки внутри тр-ка АВС