Если семья постоянно меняет место жительства, переезжая по съёмным квартирам, что не так с этими людьми?

Ну, тут поле для размышлений большое. Если меняют съёмные квартиры в пределах одного населённого пункта, возможно, это так называемые "летуны", постоянно меняющие место работы. Или злостные нарушители общественного порядка, которых выселяют. Или нелегальные мигранты, заметающие следы. Могут быть злостные неплательщики, которые постоянно сбегают от хозяев.
Если меняют в разных городах и весях, это так называемые кочевники по натуре, типа цыган.