Прописать ребенка по месту жительства матери, если ребнку уже 4,5 месяца. Родители прописаны по разным адресам в Москве.

Ни в коем случае ничего не платите! В подобных конторах любят придумывать много дополнительных справок, но чтобы еще и деньги требовали с матери с грудным ребенком! У нас была очень похожая ситуация.
Мы совсем недавно прописали малыша, которому вот-вот должно было исполниться 6 месяцев. Отец прописан в другом месте, поэтому он должен был принести (список официальный, продиктован работниками паспортного стола) :
1) из ЕИРЦ (Единого расчетного центра) копию финансово-лицевого счета
2) из своего паспортного стола выписку из домовой книги
3) заявление о том, что отец не возражает, что ребенок будет прописан с матерью; Это заявление должно быть заверено начальником паспортного стола. Возможны два варианта: или отец заверяет его в своем паспортном столе, или, когда будете сдавать все документы на прописку ребенка, его заверит начальник паспортного стола матери, куда будет прописан ребенок
4) также и мать пишет заявление с просьбой прописать ребенка (образец должен висеть в паспортном столе) – т. о. каждый из родителей пишет заявление
5) также приносите свидетельство о рождении ребенка и его ксерокопию (мы, на всякий случай, принесли и свидетельство о браке) . ВСЕ И БОЛЬШЕ НИЧЕГО!! ! Более того, КОГДА ПРИШЛИ ПРОПИСЫВАТЬ РЕБЕНКА, ТО У НАС СПРОСИЛИ ТОЛЬКО МОЙ ПАСПОРТ И СВИДЕТЕЛЬСТВО О РОЖДЕНИИ РЕБЕНКА!! !
Кстати, мы спрашивали в этих учреждениях, что нам будет, если мы еще больше задержимся с пропиской ребенка. Нам ответили, что только если ребенок прописан, его можно оформить в дет. сад, также только в этом случае на него дают ежемесячное пособие (но, при этом, как только Вы оформляете документы в Собесе – а это отдельный перечень документов, на него начислят деньги за 6 (!) предыдущих месяцев) .
Так что не волнуйтесь, постарайтесь просто прописать его до 6 месяцев, чтобы не потерять деньги пособия, т. к. , повторюсь, их выплачивают только за последние 6 месяцев. А так, это не обязанность, а Ваше право прописывать ребенка, которое просто облегчает жизнь и ему, и Вам.
Удачи Вам! Не нервничайте – у Вас нет повода для волнений! Если будут придумывать всякие глупости, скажите, что пойдете в вышестоящие инстанции (обычно на стендах подобных учреждений написана соответственная контактная информация) .