Серебрянная цепочка потемнела, что делать?

Как писал Никита Волик (по приоритету в порядке поступления ответов) - в аммиак её! В водный раствор, называемый нашатырным спиртом. Можно в нём же почистить зубным порошком или мылом (хотя это не имеет большого смысла - если есть устойчивые загрязнения) .
И после очистки в нашатырном спирте НЕМЕДЛЕННО прополоскать в слабом растворе уксусной или лимонной кислоты (в присутствии аммиака на воздухе серебро начинает темнеть практически на глазах) , затем промыть водой.
Второй вопрос - а надо ли? Патина на серебре придаёт ему вид старинной, антикварной вещи. медные и серебряные изделия даже специально окисляют (патинируют) и "стирают" патину с выступающих частей с целью создания эффекта "старины". А в вашем случае на выступающих частях патина со временем сама оботрётся при носке цепочки.