Законно ли мое прибывание в городе без прописки на время обучения?

Сейчас помойму можно ваабще без прописки жить

Если Вы уже учитесь, то учебное заведение ОБЯЗАНО было прописать (временно) в общежитие.

по идее, должна быть временная регистрация

Нужна временная регистрация

Сейчас прописки нет, есть регистрация по месту жительства. Так вот, регистрироваться по месту жительства нужно, если даже в гости приехал к кому-то на несколько дней.

согласно действующему законодательству (Федеральному закону "О регистрации граждан...") в случае если гражданин прибыл временно в какое-нибудь место прибываение и находится в нем более 10 дней, он должен получить временную регистрацию, в противном случае он может быть привлечен к административной ответственности.

Небольшое уточнение: если срок пребывания превышает 90 дней, то по истечение этого срока необходимо получить регистрацию по месту пребывания. Если Вы учитесь, то скорее всего срок пребывания будет превышать указанные 90 дней, поэтому надо зарегистрироваться.