Принято считать, что математическая точка не имеет размера. Но ведь любая, даже бесконечно малая точка имеет размер.

Математика сама по себе не может быть лживой, даже если это завернутая-вывернутая наизнанку (в представлении обывателя) теория. Кроме планиметрии, вблизи которой спич идет, существуют и геометрия Лобачевского, Римана, да и не только геометрии, другие разделы формального знания, которые не очень хотят пересекаться с нашим видением реального мира. А вот это самое виденье, да еще и употребление абстрактного знания в делах суетных, может быть и лживым, и порочным, и, просто, неграмотным. А мир абстрактных идей существует сам по себе по своим законам, помимо наших договоренностей, нашего знания или понимания. Математика и планиметрия, в частности, лишь иструменты исследования, ну и конечно же некоторый объем знаний об этом самом мире идей или абстракций. Конечно же, на математику (это уже в социальном аспекте) возложено решение человеческих проблем, с которыми мы сталкиваемся в реальном мире. Ну так вот и основы планиметрии обобщались и формулировались изначально (в древнем Египте, Вавилоне, это уже к истрикам) именно из прикладных соображений. Ну а теперь к размеру точки. Размер есть! Называется "бесконечно малый". Почему так древние мудрецы постановили (ведь прикладники же в основном были!) ? Про становление и проверку временем этого положения распространяться не буду, а сразу к принципам построения формального знания в аксиоматическом виде. Требование: В основе должна быть система первичных понятий и аксиом, полная, замкнутая и непротиворечивая. Все остальное: другие понятия, теоремы получаются путем логического следования. До Лобачевского все были уверены, что планиметрия Евклида и есть идеальное построение теории, полностью отражающей наше Бытие и другого быть не может. Но оказалось, что и понятия можно выбирать по другому и аксиомы формулировать иначе, при этом построить совершенно иные теории. Вот теперь к тебе вопрос (риторический) , а можно ли построить геометрию, в которой точка будет иметь какой-нибудь другой размер, а не "бесконечно малый"? Можно не отвечать. Подобные вопросы ставились, решались Серьезными Мужами.. . Короче, к текущему моменту для простых бюргеров земли существует только планиметрия Евклида. Ну а для продвинутых появилась еще и геометрия Римана, поскольку выяснилось, что планиметрия "идеальна" (в смысле описания бытия и решения задач) только в масштабах Земли. А уже в масштабах солнечной системы возникли несостыковки. Возможно, и Риманова геометрия на каком-то этапе развития человечества будет или дополнена, или заменена.
Ни и для общего развития скажу, что кроме аксиоматического построения формального знания существует еще категориальный метод и системный подход. Может, тебе удастся построить альтернативную аксиоматическую теорию или, вообще, новый метод структуирования знаний. Люди над этим работают, может тебе повезет. Дерзай!