разделить окружность на 4 равные части с помощью только циркуля

Часть первая (на рисунке слева сверху) . находим центр окружности.
Проводим с центром в точке A (на окружности) дугу BC любого радиуса. Проводим с центрами в точках B и C дуги радиуса BA=CA. Они пересекутся в D. Проводим с центром в точке D дугу радиуса DA. Она пересечёт дугу BC с центром в точке A в точках E и F. Проводим дуги с центрами в точках E и F и радиусом EA=FA. Они пересекутся в точке O -- центре окружности.

Часть вторая (на рисунке справа сверху) . находим дугу, серединой которой является искомая точка.
Мы хотим найти на окружности такую точку, чтобы угол между направлением из центра на эту точку и на данную точку A был прямым.
Для этого сразу находим такую дугу окружности, серединой которой является искомая точка.
Проводим с центром в точке A дугу BC. Затем проводим окружности с центром в точке O радиуса BC и с центром в точке B радиуса CO. Они пересекутся в точке G. Тогда COGB параллелограмм и так как AO перпендикулярно CB, то OG перпендикулярно AO. Дальше проводим дугу с центром в точке G так чтобы она пересекла данную окружность в точках I и H. Тогда серединой дуги IH будет искомая точка.

Часть третья (на рисунке снизу) делим дугу пополам.
Строим дуги с центрами в точках I и H радиусом IO=HO, а также с центром в точке O и радиусом IH. Эти дуги пересекутся в точках J и K. Строим дуги с центрами в точках J и K и радиусом JH=KI. Они пересекутся в точке L. Строим дуги с центрами в точках J и K и радиусом OL. Они пересекутся в искомой точке M.

Идея решения (отдельные части решения) почерпнуты из книги Воронец А. М. Геометрия циркуля (ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/geometry/voronec.htm). В этой же книге приведены доказательства того, что указанные построения (1-я и 3-я часть) действительно находят центр окружности и делят дугу пополам.