В каком предложении правильно расставлены знаки препинания? С ОБЪЯСНЕНИЯМИ, пожалуйста

1 правильно) а объяснить толково не сумею.
В первой фразе По-моему это вводное слово, оно всегда выделяется запятыми.

"Кажется королю стало лучше"! В этом предложении запятая не ставится.

По-моему и кажется - вводные слова. Дело не в запятых, а в восклицательном знаке!
Правильно так:

Доктор радостно воскликнул: "Кажется, королю стало лучше! "

Знаки вопросительный и восклицательный и многоточие ставятся перед закрывающими кавычками, если относятся только к словам, заключенным в кавычки, но после закрывающих кавычек, если относятся ко всему предложению вместе со словами, выделенными посредством кавычек, например:
Я спрашиваю: «Но как же тогда? » Пожал плечами и сказал: «Сие для меня тайна! » М. Горький

http://www.gramota.ru/spravka/rules/?rub=oszp

Запятыми выделяются вводные слова и словосочетания.
1) вводные слова, выражающие оценку говорящим степени достоверности сообщаемого (уверенность, предположение, возможность, неуверенность и т. п. ) : конечно, несомненно, без всякого сомнения, очевидно, безусловно, верно, вероятно, по всей вероятности, может, может быть, быть может, должно быть, КАЖЕТСЯ
3) вводные слова, указывающие на источник сообщения: говорят, сообщают, передают, по словам. . по сообщению. . по сведениям. . по мнению. . ПО-МОЕМУ
http://www.evartist.narod.ru/text1/47.htm

Второе неправильно. Если воскликнул, значит, должен быть знак восклицания.