Cначала решу частный пример.
Потом попробую упростить решение для общего применения.
Хотя думаю что общее решение невозможно найти простым преобразованием.
Но "формулу", предполагаю, можно будет вывести используя индукцию и немного фантазии.
Пояснить как я пришел к этому решению и в чем логика сего ― будет не менее простой задачей,
но попробую завтра в комментариях это сделать. Пока что намекну на путь.
Давайте разместим сначала 8 (из 15) человек по 8 комнатам, потом 7 и так далее до 4 построив некую комбинаторную "слоевую систему гор". Минимальное число 4 взято не просто так ― если в начале "пирамиды" будет менее чем 4 человека, например 3 ― максимальное число размещаемых будет максимум 3*4 - что противоречит нашим целям и условию.
Вот что выйдет при расчете всех возможных вариантов "пирамид" с лишними вариациями, которые мы "вычтем" в дальнейшем.
Раскроем скобки и сразу же напишем решение в полном виде:
Это число размещения 15 человек по 8 комнатам с ограничением на 4 человека в комнату - максимум.
Можно сразу заметить что сумма верхних коэффициентов "A" в каждой из частичек разложения равна 15. И приведены все возможные разложения где первое число не больше чем 8, а следующее число не больше предыдущего и слагаемых максимум 4.
Нижнее число и степени чисел тоже подчиняются определенным правилам - предоставлю возможность заметить простую последовательность вам - не подглядывайте в функцию T.
Такое странное совпадение будет и в общем примере. В комментариях поясню - почему, но позже.
А сейчас найдем вероятность:
15 = 6+6+3, 6+6+2+1, 6+5+4,
6+5+3+1, 6+5+2+2, 6+4+4+1,
6+4+3+2, 6+3+3+3, 5+5+5,
5+5+4+1, 5+5+3+2, 5+4+4+2,
5+4+3+3, 4+4+4+3
Давайте упростим друг другу восприятие ответа:
Заведем функцию T:
T[X,Y,Z,U]=
Если U,Z или Y не указан, то соответственно не пишется тот множитель, верхний "коэффициент" которого не указан.
Ответ:
T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] + T[6,5,3,1] + T[6,5,2,2] +..+T[4,4,4,3]
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
T[8,7,7] + T[8,6,1] + T[8,5,2] +..+T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] +..+T[4,4,4,3]
Численно эту вероятность чуток трудновато рассчитать ― как в голове, так и на листке.
Калькулятором тоже не легко.
Мне ― если честно, чуток лень считать численное значение сейчас.
Да и домой пора.
В комментариях поясню решение, обобщу и подсчитаю численное значение по "изобретенной мною формуле", которую мы выведем используя логику и теоремы индукции + немного алгебрических преобразований.
Удачи.
ℒ Ученик (226)
9 лет назад
C(6,8)(T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] + T[6,5,3,1] + T[6,5,2,2] +..+T[4,4,4,3])―――――――――――――――――――――――――――――――――――T[8,7,7] + T[8,6,1] + T[8,5,2] +..+T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] +..+T[4,4,4,3]
ℒ Ученик (226)
9 лет назад
C(6,8)(T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] + T[6,5,3,1] + T[6,5,2,2] +..+T[4,4,4,3])
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
T[8,7,7] + T[8,6,1] + T[8,5,2] +..+T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] +..+T[4,4,4,3]