Mail.ruПочтаМой МирОдноклассникиВКонтактеИгрыЗнакомстваНовостиКалендарьОблакоЗаметкиВсе проекты

Вопрос по теории вероятностей

Дмитрий Богданов Знаток (325), закрыт 9 лет назад
Дано 15 человек, 8 комнат. В каждой комнате не более 4 человек. Найти вероятность того, что эти 15 человек расселятся в 6 комнат из 8.
Дополнен 9 лет назад
Все корректно. 15 человек должны хаотически расселиться по комнатам. Всего их 8. Две комнаты должны быть полностью пустыми. Задачка не простая, поэтому и прошу помощи.
Лучший ответ
. Ученик (0) 9 лет назад
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Сожалею но такого примера в обычных учебниках нету ― это задача с двумя звездочками**
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
А может и стремя. Если подумать - то подсчитать значение не так то просто, что почти что обязывает человека вывести общее решение в виде упрощенной формулы.
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Бл* я решал 3 дня эту задачу а ЛО считают ваш ответ. Тьфу на эти Ответы и присутствующее на этом проекте Быдло.
Остальные ответы
Эмиль Галиуллин Ученик (162) 9 лет назад
Не корректный вопрос!!!
Дмитрий БогдановЗнаток (325) 9 лет назад
Все корректно. 15 человек должны хаотически расселиться по комнатам. Всего их 8. Две комнаты должны быть полностью пустыми. Задачка не простая, поэтому и прошу помощи.
Айс ГикУченик (120) 9 лет назад
Некорректный ответ и понимание математической формулировки.
HARD Знаток (340) 9 лет назад
Почему некоректный?
Михаил Мастер (1906) 9 лет назад
Вероятность того что 15 человек расселят в 6 комнат из 8, равна 1.33
(число общих исходов делим на число благоприятных исходов 8/6=1.33)

Проверяем второе условие: 15/6=2.5

Это значит что в среднем на 1 комнату из 6 мы получим два с половиной человека.

(сильно какашками не закидывайте, возможно я чего-то не понял :) )
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Нет чувак. Ты явно не въехал на сколько сложная эта задача.
Во вторых вероятность 1.33? P никогда не бывает больше чем 1.

Во вторых сколькими способами можно выбрать 6 комнат из 8? Во вот.

Но это лишь цветочки по сравнению подсчетом всех вариаций расселения.

Я со вчерашнего дня не могу её решить.
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Во вторых (первый раз) = Во первых
Айс Гик Ученик (120) 9 лет назад
Обобщим задачу: «X человек надо расселить по N комнатам, максимальное количество людей в каждой ― M.
Какова вероятность того что после случайного распределения пустыми окажутся Y комнат? »
Во первых сразу заметим, что задача усложняется лишь при MN>X>M
При X≥MN вероятность очевидно будет равна нулю. При этом не всем людям будет выделена комната, а лишь MN. Людей для заселения комнат можно выбрать способами.
При X≤M, задача становится гораздо проще. Тогда вопрос решается и без максимального количество людей в комнате. Т. е людей можно распределить по комнатам способами.
Но что делать в случае MN>X>M?
...
Вчера я был в сонном состоянии, 72 часа без сна. . Да и сейчас всего 4 часа поспал. .
Но заинтересовался решением.
Во первых можно заметить (на нашем же примере) , что даже если представить что все комнаты делятся на 4 внутренних отделений и начать считать число возможных размещений 15 человек в 32 отделениях, то мы не получим нужное число. Рассмотрим этот вариант решения и опровергнем его вместе:
У нас есть 8 комнат и в каждой по 4 отделения, пронумеруем их:
┃ 1 ┃ 2 ┃ 3 ┃ 4 -┃- 5 ┃ 6 ┃ 7 ┃ 8 ┃
┣━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━┫
┃① ┃① ┃① ┃ ① ┃ ①┃ ①┃ ①┃ ①┃
┃② ┃② ┃② ┃ ② ┃ ②┃ ②┃ ②┃ ②┃
┃③ ┃③ ┃③ ┃ ③ ┃ ③┃ ③┃ ③┃ ③┃
┃④ ┃④ ┃④ ┃ ④ ┃ ④┃ ④┃ ④┃ ④┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┛
Высчитав размещение 15 человек по всем 32 отделениям, даст нам много лишних вариаций.
Допустим что в 1 комнату попал 1 человек ― 3 лишней вариаций по отделениям сразу бросаются в глаза. .
Вторая идея была близкой к истине, но очень сложной и я решил копать дальше ― она состояла в применении только популярных теорий.
Опять же представим комнаты:
┃ 1 ┃ 2 ┃ 3 ┃ 4 -┃- 5 ┃ 6 ┃ 7 ┃ ...┃
┣━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━┫
┃① ┃① ┃① ┃ ① ┃ ①┃ ①┃ ①┃ ①┃
┃② ┃② ┃② ┃ ② ┃ ②┃ ②┃ ②┃ ②┃
┃③ ┃③ ┃③ ┃ ③ ┃ ③┃ ③┃ ③┃ ③┃
┃... ┃....┃....┃....┃....┃....┃....┃....┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┛
Разделим задачу на более простые:
В первой комнате людей можно разместить (опять вернемся к общему примеру) ++... способами.
Во второй дело усложняется:
(++...+)+(++...)+...
Для третьей и далее, дело с ума сводит количеством перестановок. .
Вот тут я и остановился. Может найти последовательность и упростить?... Попробую поискать...
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Первых 4 человека можно разместить способами. Продолжаю рассчеты. Пока дошел до размещения 7 человек...
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Ваш путь оказался слишком сложным.
ирина немтинова Знаток (334) 9 лет назад
┃ 1 ┃ 2 ┃ 3 ┃ 4 -┃- 5 ┃ 6 ┃ 7 ┃ 8 ┃
┣━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━┫
┃① ┃① ┃① ┃ ① ┃ ①┃ ①┃ ①┃ ①┃
┃② ┃② ┃② ┃ ② ┃ ②┃ ②┃ ②┃ ②┃
┃③ ┃③ ┃③ ┃ ③ ┃ ③┃ ③┃ ③┃ ③┃
┃④ ┃④ ┃④ ┃ ④ ┃ ④┃ ④┃ ④┃ ④┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┛
Высчитав размещение 15 человек по всем 32 отделениям, даст нам много лишних вариаций.
Допустим что в 1 комнату попал 1 человек ― 3 лишней вариаций по отделениям сразу бросаются в глаза. .
Вторая идея была близкой к истине, но очень сложной и я решил копать дальше ― она состояла в применении только популярных теорий.
Опять же представим комнаты:
┃ 1 ┃ 2 ┃ 3 ┃ 4 -┃- 5 ┃ 6 ┃ 7 ┃ ...┃
┣━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━╋━━┫
┃① ┃① ┃① ┃ ① ┃ ①┃ ①┃ ①┃ ①┃
┃② ┃② ┃② ┃ ② ┃ ②┃ ②┃ ②┃ ②┃
┃③ ┃③ ┃③ ┃ ③ ┃ ③┃ ③┃ ③┃ ③┃
┃... ┃....┃....┃....┃....┃....┃....┃....┃
┗━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┻━━┛
Разделим задачу на более простые:
В первой комнате людей можно разместить (опять вернемся к общему примеру) ++.способами.
Во второй дело усложняется:
(++..+)+(++..)+...
Для третьей и далее, дело с ума сводит количеством перестановок. .
Вот тут я и остановился. Может найти последовательность и упростить?... Попробую поискать...
Белочкин Мудрец (12813) 9 лет назад
1). 6 комнат из 8 разного состава выбираем С (8,6) способами
2). 15 чел. размещаем в эти 6 комнат (с огранич. <=4) - С (15,4)*6^4
3). Всего благоприятствующих искомому событию случаев: С (8,6)*С (15,4)*6^4
4). Всего способов разместить 15чел по 8 комнатам (всякоски) 8^15
5). Искомая вероятность P= (С (8,6)*С (15,4)*6^4)/8^15 = 0,14*10^(-5)
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Ошибаешься.
Допустим что у нас 3 комнаты. В каждой можно поместить по 2 человека максимум.

У нас имеются 4 человека. Ты говоришь что всего способов разместить людей будет 3^4=12?

Не трудно вручную подсчитать что способов 20 (сами посчитайте) .

И вообще, ваше суждение очень невнятное. Не будьте самоуверенным. Научитесь мыслить холодно и принимать решения основанные на аксиомах и цепочке мыслей основанной на последних.

Почему вы не учитываете ограничение при вычислении общее число размещений?...
ℒ ­ Ученик (226) Перечитал и нашел неприятную для восприятия ошибку. Остальное можно отфильтровать без особого раздражения. #общего числа размещений
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
Бог тебе в помощь
ℒ ­ Ученик (226)
Forestman Гений (81447) 9 лет назад
Вопрос не о вероятности, а о числе способов расселения.
ℒ ­ Ученик (226) 9 лет назад
Cначала решу частный пример.
Потом попробую упростить решение для общего применения.
Хотя думаю что общее решение невозможно найти простым преобразованием.
Но "формулу", предполагаю, можно будет вывести используя индукцию и немного фантазии.
Пояснить как я пришел к этому решению и в чем логика сего ― будет не менее простой задачей,
но попробую завтра в комментариях это сделать. Пока что намекну на путь.
Давайте разместим сначала 8 (из 15) человек по 8 комнатам, потом 7 и так далее до 4 построив некую комбинаторную "слоевую систему гор". Минимальное число 4 взято не просто так ― если в начале "пирамиды" будет менее чем 4 человека, например 3 ― максимальное число размещаемых будет максимум 3*4 - что противоречит нашим целям и условию.

Вот что выйдет при расчете всех возможных вариантов "пирамид" с лишними вариациями, которые мы "вычтем" в дальнейшем.

Раскроем скобки и сразу же напишем решение в полном виде:




Это число размещения 15 человек по 8 комнатам с ограничением на 4 человека в комнату - максимум.
Можно сразу заметить что сумма верхних коэффициентов "A" в каждой из частичек разложения равна 15. И приведены все возможные разложения где первое число не больше чем 8, а следующее число не больше предыдущего и слагаемых максимум 4.
Нижнее число и степени чисел тоже подчиняются определенным правилам - предоставлю возможность заметить простую последовательность вам - не подглядывайте в функцию T.
Такое странное совпадение будет и в общем примере. В комментариях поясню - почему, но позже.
А сейчас найдем вероятность:

15 = 6+6+3, 6+6+2+1, 6+5+4,
6+5+3+1, 6+5+2+2, 6+4+4+1,
6+4+3+2, 6+3+3+3, 5+5+5,
5+5+4+1, 5+5+3+2, 5+4+4+2,
5+4+3+3, 4+4+4+3

Давайте упростим друг другу восприятие ответа:
Заведем функцию T:
T[X,Y,Z,U]=
Если U,Z или Y не указан, то соответственно не пишется тот множитель, верхний "коэффициент" которого не указан.
Ответ:

T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] + T[6,5,3,1] + T[6,5,2,2] +..+T[4,4,4,3]
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
T[8,7,7] + T[8,6,1] + T[8,5,2] +..+T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] +..+T[4,4,4,3]

Численно эту вероятность чуток трудновато рассчитать ― как в голове, так и на листке.
Калькулятором тоже не легко.
Мне ― если честно, чуток лень считать численное значение сейчас.
Да и домой пора.
В комментариях поясню решение, обобщу и подсчитаю численное значение по "изобретенной мною формуле", которую мы выведем используя логику и теоремы индукции + немного алгебрических преобразований.
Удачи.
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
C(6,8)(T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] + T[6,5,3,1] + T[6,5,2,2] +..+T[4,4,4,3])―――――――――――――――――――――――――――――――――――T[8,7,7] + T[8,6,1] + T[8,5,2] +..+T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] +..+T[4,4,4,3]
ℒ ­Ученик (226) 9 лет назад
C(6,8)(T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] + T[6,5,3,1] + T[6,5,2,2] +..+T[4,4,4,3])
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

T[8,7,7] + T[8,6,1] + T[8,5,2] +..+T[6,6,3] + T[6,6,2,1] + T[6,5,4] +..+T[4,4,4,3]
ℒ ­ Ученик (226) Автора вопроса не заинтересовали пояснения, предположительно он даже не прочитал мой ответ. К тому же, лучшим ответом выберут другой, что по сути отбирает у меня право, как у относительно ясно мыслящего человека, давать какие либо пояснения в пустую потраченному труду.. .
Ня МэйУченик (98) 9 лет назад
Прошу немного упрости ответ, может все таки можно найти какое то простое выражение данного ответа?
Похожие вопросы