Определите какой частью речи является слово "дар" в каждом предложении.

Слово ДАР здесь только в одном предложении – в первом; во втором предложении слово ДАРОМ, в третьем – ДАРОМ ЧТО.

1) Ты своим ДАРОМ не гордись.
2) Это тебе ДАРОМ не пройдёт.
3) Он ДАРОМ, что старик, а сколько сил имеет.

1) Ты своим ДАРОМ не гордись. Не гордись ЧЕМ? даром. Существительное в форме творительного падежа единственного числа, натальная форма – ДАР. В данном предложении это существительное является дополнением.

2) Это тебе ДАРОМ не пройдёт. Не пройдёт КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? даром, наречие в значении «безнаказанно»). В данном предложении это наречие является обстоятельством образа действия.

3) Он ДАРОМ ЧТО старик, а сколько сил имеет. Союз ДАРОМ ЧТО = союзам ХОТЯ; НЕСМОТРЯ НА ТО, ЧТО. Запятая перед второй частью составного союза ДАРОМ ЧТО не ставится, так как он присоединяем сказуемое СТАРИК к подлежащему ОН. Союз не является членом предложения.
.