Как доказать? Медиана из вершины A меньше полусуммы AB и AC,но меньше полуразности

Я так понял, что после но не меньше, а больше. Ну разберемся с 1 утверждением. Допустим треугольника ABC, медиана AM. Отложим точку D на прямой AM за точку M так, что MD=AM(удвоим медиану проще говоря). Тогда ABCD-параллелограмм (это очевидно). Воспользуемся теоремой о сторонах и диагоналях параллелограмма. AB^2+CD^2+AC^2+BD^2=BC^2+AD^2. Пусть AB=CD=a, AC=BD=b, BC=c, AM=m. Перепишем наше выражение с этими буквами. 2a^2+2b^2=4m^2+c^2. Выразим m=0,5*sqrt(2a^2+2b^2-c^2)(формула нахождения медианы через 3 стороны треугольника). Теперь запишем то, что нам надо доказать нашими буквами. a+b>2m-это то, что надо доказать в 1 пункте вашей задачи. Подставим вместо m выше доказанное a+b>sqrt(2a^2+2b^2-c^2). Возведем все в квадрат a^2+2ab+b^2>2a^2+2b^2-c^2, a^2+b^2-2ab<c^2, (a-b)^2b(можно и наоборот, без разницы, случай a=b рассматривать нет смысла, так как ясно, что c^2>0). Тогда нужная нам часть решения решения этого неравенства выглядит так c>a-b. Вспомним неравенство треугольника, запишем его относительно c, a+b>c. В неравенстве c>a-b, которое нам надо доказать, добавим 2b к левой и правой части, получим c+2b>a+b. В то же время из доказанного еще Евклидом неравенства треугольника следует, что a+b>c. Значит с+2b>c, 2b>0, b>0. Это верно по условию задачи, так как b-это сторона треугольника, она отрицательной быть не может, значит 1 утверждение геометрии не противоречит, это верно. Во втором утверждении у вас записано не верно, как я уже говорил, исправляем меньше на больше. Доказывается точно так же нужно доказать 2m>a-b, все так же подставляем, делаем, в итоге получаем (a+b)^2>c^2, интересующие нас решения a+b>c. А это собственно и есть само неравенство треугольника, доказанное Евклидом, оно верно, значит и утверждение верно.