какой частью речи является слово грустно в предложениях-мать грустно смотрела на детей ожидание было грустно мне грустно

В этих предложениях употреблены омоформы (грамматические омонимы) ГРУСТНО.

I Мать грустно смотрела на детей.

Здесь слово ГРУСТНО – НАРЕЧИЕ, так как:
◆ относится к глаголу СМОТРЕЛА;
◆ на вопросы КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? отвечает;
◆ обозначает признак действия;
◆ не изменяется, то есть не склоняется и не спрягается;
◆ в предложении выполняет роль обстоятельства образа действия (посмотрела как? каким образом? грустно).

II Ожидание было грустно.

В этом предложении слово ГРУСТНО – КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ в форме среднего рода, так как:
◆ на вопрос КАКОВО? отвечает (ожидание каково?);
◆ обозначает признак предмета (ожидания);
◆ изменяется по числам (грустно – грустны), а в единственном числе по родам (грустно – грустен, грустна);
◆ в предложении является сказуемым при подлежащем ОЖИДАНИЕ (дыхание каково было? было грустно – составное именное сказуемое: глагол-связка БЫЛО + основная часть, выраженная кратким прилагательным ГРУСТНО; виды сказуемых изучаются в 8-м классе).

III Мне грустно.

А в этом предложении ГРУСТНО – СЛОВО КАТЕГОРИИ СОСТОЯНИЯ (СКС), потому что:
◆ обозначает душевное состояние человека;
◆ на вопросы КАК? КАКОВО? отвечает (как, каково мне? грустно);
◆ является сказуемым в предложении без подлежащего (с 8-го класса говорят точнее: является сказуемым в односоставном безличном предложении; сказуемое тоже составное именное с нулевой связкой).

СКС в большинстве школьных учебников относят к особой группе наречий, но многие учёные давно выделяют их в ещё одну самостоятельную часть речи.
.