!!!интеграл!!!

в школе интегрирование это просто нахождение фигуры под графиком

Фихтенгольц: Курс дифференциального и интегрального исчисления (том 1)

Поправлю предыдущего оратора. Неопределенный интеграл - это не функция, а семейство функций.

Есть много понятий интеграла. Говоря простым языком, берёте график какой-либо функции и замеряете площадь под этим графиком от точки a до точки b.
На самом деле интегралов есть много, самый "популярный" - интеграл Римана, до Римана этими исследованиями занимались Ньютон и Лейбниц, именем которых названы неопределённый и определённый интегралы Ньютона-Лейбница. Оказывается, все функции, интегрируемые по Н-Л, интегрируемы и по Риману, причём определённые интегралы будут совпадать. Но не наоборот, т. е. существуют функции, с которыми не справляется интеграл Н-Л, но справляется инт. Римана.
Но у интеграла Римана тоже есть свои "проблемы" - тут Лебег пошёл дальше и "изобрёл" свой интеграл, основываясь на понятии меры, и выяснилось, что любая функция, интегрируемая по Риману, интегрируется и по Лебегу и их интегралы совпадают, но не наоборот - т. е. Лебеговский интеграл ещё "круче".

Определенный интеграл- это сумма. Только сумма бесконечная. Возьмите какую нибудь линию, и поставьте на ней точки. Затем соедините все эти точки отрезками. Можно сказать, что сумма длин этих отрезков будет примерно равна длине самой линии. Если этих точек будет много, очень много, бесконечно много, то сумма длин отрезков будет приближаться к истинной длине линии. Определенный интеграл позволяет вычислить сумму этого бесконечного множества отрезков. Этот способ вычисления длин кривых, площадей, объемов был известен еще Пифагору. Но Пифагор опирался на интуитивные представления. Конечно про интегралы тогда не говорили, но принцип был такой же. Теорию довели до совершенства Ньютон, Лейбниц и их современники. Но все равно потребовалось несколько веков, чтобы оформить понятия бесконечно малой и предела, используемые в интегральном и дифференц. исчислениях.
Есть еще понятие неопределенный интеграл. Это операция нахождения нахождения первообразной. Что это значит? Если имеется функция f(x), и мы нашли ее производную тогда, чтобы вернуться в исходное положение (по производной найти исходную функцию) , мы интегрируем производную, и находим f(x). Т. е. нахождение неопред. интеграла, это операция обратная нахождению производной (дифференциированию)
Надо еще сказать, что определенный и неопределенный интеграллы это совершенно разные вещи. Определенный интеграл это число (длина, площадь, объем...) , неопределенный интеграл, это функция (вернее множество функций, отличающихся друг от друга на константу.
Примерно так я понимаю слово интеграл.