Какой частью речи является слово бесшумно?

Частеречную принадлежность слова БЕСШУМНО вне предложения не определить, а предложение с этим словом Вы не записали, поэтому определять придётся самостоятельно. Вот материалы, которые в этом Вам помогут.

Дверь открывается бесшумно.

В этом предложении слово БЕСШУМНО – НАРЕЧИЕ, так как:
► на вопросы КАК? КАКИМ ОБРАЗОМ? отвечает (открывается как, каким образом?);
► обозначает признак действия;
► не изменяется;
► в предложении является обстоятельством образа действия.

Движение этого транспорта почти бесшумно.

А здесь слово БЕСШУМНО – краткое прилагательное среднего рода (полная форма – БЕСШУМНОЕ, начальная форма – БЕСШУМНЫЙ), так как:
► на вопрос КАКОВО? отвечает (движение каково?);
► обозначает признак предмета;
► изменяется по числам, а в единственном числе по родам: бесшумен, бесшумна, бесшумно, бесшумны;
► в предложении является сказуемым при подлежащем движение.

В комнате тихо, бесшумно.

В этом предложении слово БЕСШУМНО (и тихо тоже) – СЛОВО КАТЕГОРИИ СОСТОЯНИЯ, так как:
► на вопросы КАК? КАКОВО? отвечает (как, каково в комнате?);
► обозначает состояние окружающей среды;
► не изменяется;
► является сказуемым в предложении без подлежащего (в безличном предложении – 8-й класс).

С НАСТУПАЮЩИМ СТАРЫМ НОВЫМ ГОДОМ!