Как найти угловую скорость, зная радиус и длину нити?

II. МЕХАНИКА (продолжение)
6 Жёсткий невесомый стержень шарнирно прикреплён одним концом к потолку. На другом конце и на середине стержня закреплены маленькие шарики массой m каждый. Стержень вращается с постоянной угловой скоростью, образуя с вертикалью постоянный угол . Пренебрегая трением, найдите величину силы, с которой стержень действует на верхний шарик, и угол, который эта сила составляет с вертикалью.

Решение

Рис. 6

При решении задачи будем считать лабораторную систему отсчёта, относительно которой потолок неподвижен, инерциальной. Пусть длина стержня равна 2L. Поскольку стержень образует с вертикалью постоянный угол и, по условию задачи, размерами шариков следует пренебречь, то радиусы окружностей, по которым движутся первый и второй шарики, равны соответственно R1 = Lsin и R2 = 2Lsin (рис. 6). По условию задачи, трением, в том числе и силами сопротивления движению тел системы, следует пренебречь. Следовательно, на шарики действуют только силы тяжести и силы реакции стержня. Если постоянную угловую скорость вращения стержня обозначить и учесть, что шарики не перемещаются в вертикальном направлении, то, согласно второму закону Ньютона, величины вертикальных составляющих сил реакции стержня F1y и F2y на первый и второй шарики должны быть равны mg, где g – величина ускорения свободного падения, а горизонтальные составляющие указанных сил равны соответственно F1x=m2R1 и F2x=m2R2, т. к. центростремительные ускорения шариков aix = 2Ri. На рис. 6 наряду с силами тяжести mg показаны действующие на шарики силы реакции стержня F1 и F2, а также составляющие этих сил Fix и Fiy в тот момент, когда стержень с шариками располагается в плоскости рисунка.

По условию задачи, массой стержня следует пренебречь. Поэтому сумма действующих на стержень сил и сумма моментов этих сил должны быть равны нулю. Как известно, при выполнении первого условия сумма моментов сил не зависит от выбора конкретной оси вращения. Поэтому, чтобы не вычислять силу, действующую на стержень со стороны шарнирного подвеса, второе условие целесообразно записать относительно оси, проходящей через точку подвеса стержня к потолку перпендикулярно плоскости рисунка. Поскольку сила, действующая на шарик со стороны стержня, согласно третьему закону Ньютона равна по величине и противоположна по направлению силе, с которой шарик действует на стержень, и величина момента силы относительно заданной оси равна произведению плеча силы на величину этой силы, то

Подставляя в это уравнение найденные ранее значения составляющих сил реакции стержня на шарик, находим, что

а потому величина силы, с которой стержень действует на верхний шарик,

и эта сила образует с вертикалью (см. рис. 6) угол

7 Тонкостенный отрезок трубы массой m, начав скатываться без скольжения с вершины закреплённого на горизонтальной плоскости полуцилиндра радиусом R, оторвался от его поверхности, опустившись вниз на расстояние h (рис. 7). При скатывании ось трубы оставалась горизонтальной. Зная, что радиус трубы много меньше R, найдите работу А сил сопротивления движению трубы за время её движения по полуцилиндру.

Рис. 7

Решение

При решении задачи будем, как обычно, считать закреплённый цилиндр неподвижным относительно лабораторной системы отсчёта, а эту систему будем считать инерциальной. Поскольку труба скатывается без проскальзывания, то величины скорости оси трубы и угловой скорости её вращения вокруг этой оси удовлетворяют соотношению где r – радиус трубы. Следовательно, скорость i-й точки трубы равна где – скорость этой точки относительно оси трубы, т. к. ось трубы не изменяет своего направления относительно лабораторной системы отсчёта (рис. 8). По условию задачи, труба является тонкостенной. Следовательно, для любой её точки можно считать, что Поскольку иное в условии задачи специально не оговорено, будем считать трубу однородной. Поэтому кинетическая энергия катящейся