какая часть речи отвечает на вопрос, Зачем? Почему?

Вопросы ЗАЧЕМ? и ПОЧЕМУ? – это малая часть вопросов к наречию как к части речи, точнее – к наречию цели (ЗАЧЕМ?) и наречию причины (ПОЧЕМУ?).

Но на эти же вопросы отвечают ОБСТОЯТЕЛЬСТВА ЦЕЛИ и ОБСТОЯТЕЛЬСТВА ПРИЧИНЫ, а это уже члены предложения, а не части речи, причём эти члены предложения могут быть выражены как наречиями, так и другими частями речи.

Кроме того, на вопросы ЗАЧЕМ? и ПОЧЕМУ? отвечают придаточные предложения в составе сложноподчинённых (СПП). Они так и называются:
► обстоятельственные придаточные цели;
► обстоятельственные придаточные причины.

В Вашем предложении как раз этот последний случай, только вопрос надо от главного предложения к придаточному задавать именно ЗАЧЕМ?, а не ПОЧЕМУ?, так как придаточное в этом СПП обстоятельственное цели, что подтверждается тем, что оно прикрепляется к главному предложению с помощью ЦЕЛЕВОГО подчинительного СОЮЗА ЧТОБ. Уточнить вопрос ЗАЧЕМ? можно вопросом С КАКОЙ ЦЕЛЬЮ?

[Бежит Антошка по дорожке], (чтоб не мочить босые ножки).

Главное предложение – [Бежит Антошка по дорожке]. Это двусоставное предложение, его грамматическая основа – БЕЖИТ АНТОШКА.

Придаточное предложение – (чтоб не мочить босые ножки). Это односоставное безличное (инфинитивное) предложение, его грамматическая основа – НЕ МОЧИТЬ.

От главного предложения к придаточному мы и задаём указанный мной вопросы:
[Бежит Антошка по дорожке] ЗАЧЕМ? С КАКОЙ ЦЕЛЬЮ? – (чтоб не мочить босые ножки).

Односоставные предложения и способы выражения главных членов в них изучаются в 8-м классе, а изучением сложных предложений, в том числе и сложноподчинённых занимаются в 9-м классе.
.