Mail.RuПочтаМой МирОдноклассникиИгрыЗнакомстваНовостиПоискВсе проекты

Даны координаты вериш четырёх угольника ABCD A(-6; 1), B (0; 5) C (6; -4), D (0; -8)

Ученик (52), закрыт 5 лет назад
Докажите, что ABCD-прямоугльник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.
Тот кто окажется сам умным и правильно оветит получит медаль благодарности)
Задача простая)
Лучший ответ
рассмотрим векторы AB(6,4) BC(6,-9) CD(-6,-4) DA(-6,9)
рассмотрим скалярные произведения смежных сторон, которые равны 0, поэтому все 4 угла прямые, поэтому прямоугольник
точка пересечения диагоналей любого параллелограмма (A+B+C+D)/4=(0,-1.5)
Остальные ответы
раз простая че сам не решаешь
это прямоугольник потому что все углы у него 90 градусов и противоположые стороны равны, Диагонали прямоугольника равны, точка пересечения диагоналей (0; -1,5)
Найдем уравнения каждой из сторон прямоугольника.
y=kx+b
для AB (уравнения соответственно для точек А и В)
_{1 = -6k + b
{5 = b
-4 = -6k
k = 2/3

y = 2/3x + 5

для СD
_{-4 = 6k + b
{-8 = b
-4 = -6k
k = 2/3

y = 2/3x - 8

k(AB) = k(CD) = 2/3 => AB||CD

для АD
_{1 = -6k + b
{-8 = b
9 = -6k
k = -1.5

y = -1.5x - 8

для ВС
_{5 = b
{-4 = 6k + b
9 = -6k
k = -1.5

y = -1.5k + 5

k(BC) = k(AD) = -1.5 => BC||AD
AB||CD, BC||AD =>ABCD - параллелограмм.
Чтобы доказать, что это прямоугольник, достаточно доказать, что один из углов прямой. Пусть это будет угол В.
Рассмотрим векторы ВА и ВС
Найдем координаты этих векторов.
ВА{0 - (-6); 5-1}; BA{6;4}
BC{0 - 6; 5 - (-4)}; BC{-6; 9}
условие перпендикулярности векторов: х1х2 + у1у2 = 0
х1х2 + у1у2 = 6*(-6) + 9*4 = -36+36 = 0, удовлетворяет условию. Значит, угол В - прямой, а АВСD - прямоугольник.

Уравнения диагоналей.
для АС
_{1 = -6k + b
{-4 = 6k + b
5 = -12k
k = -5/12
(сложив верхнее и нижнее уравнения)
2b = -3
b = -1.5

y = -5/12x - 1.5 (1)

для ВD уравнение прямой x=0.
Отсюда следует, что абсцисса точки пересечения диагоналей (пусть это будет точка Е) тоже равна нулю, т. к. она принадлежит прямой x=0.

Подставляем х=0 в уравнение (1).
y = -1.5
Отсюда следует, что диагонали пересекаются в точке E(0,-1.5)
Найдем длины диагоналей:
АС = корень из (144+25) = корень из 169=13
ВД = корень из (0+169) = 13
Найдем середину диагонали АС : (0;-1,5)
Найдем сереину диагонали ВД : (0;-1,5). Так как диагонали АС и ВД равны и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - прямоугольник.
Найдём координаты векторов
АВ (6;4) АД (6; -9) ДС ( 6;4) ВС (6; -9)
1) Вектор АВ = вектору ДС, а вектор АД = вектору ДА
Значить АВСД -параллелограмм
2) Скалярное произведение векторов АВ и АД равно нулю
( 36-36=0) Тогда угол ВАД =90
3) Параллелограмм с прямым углом есть прямоугольник
4) Координаты точки пересечения диагоналей есть середина ВД, тогда х= ( 0+0)/2 =0 у= ( 5-8)/2 = -1,5
Похожие вопросы