Как решать это уравнение (Rez)2+(Imz)2=2

z=x+iy. Где x^2+y^2=2

Определение. Число вида z = х + iy, где х, , a i – так называемая мнимая единица, называется комплексным числом. Мнимая единица определяется равенством:

(2.1)

Действительные числа x и y называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа z и обозначаются:

x = Rez; y = Imz (2.2)

Множество комплексных чисел обозначают буквой С.

Например, – комплексное число, где Rez = 5 – действительная часть; Imz = 8 – мнимая часть.

Определение. Два комплексных числа считают равными тогда и только тогда, когда у них равны соответственно действительные и мнимые части. В частности, комплексное число z = х + iy равно нулю тогда и только тогда, когда х =0 и у =0 .

Определение. Числа z = х + iy и z = х – iy называются (комплексно) сопряженными.

Пример 1

Записать сопряженное число для .

Решение

Сопряженное число: .

Выбираем на плоскости систему декартовых координат xОy (рис. 2.1) , тогда каждому z = х + iy будет соответствовать вектор плоскости, начало которого совпадает с началом координат, и, наоборот, каждому вектору плоскости xОy будет отвечать определённое комплексное число z = х + iy (последнее следует из основной формулы векторного исчисления), где x и y – компоненты (координаты) .

Таким образом, между множеством C и множеством векторов (и точек!) плоскости xOy устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Определения. Плоскость xОy называется плоскостью комплексных чисел (или просто комплексной плоскостью), будем её обозначать Z. Ось Ox – действительная ось; ось Oy – мнимая ось.

Поскольку – вектор, то он имеет длину и характеризуется направлением.

Длину вектора называют модулем комплексного числа z = х + iy, а величину угла наклона вектора по отношению к оси Ox – аргументом z. Их обозначают символами:
и . (2.3)
(2.4)

Аргумент есть функция многозначная. Все значения аргумента удовлетворяют соотношению:

(2.5)

При аргумент не определен. Из множества значений (z0) выделяют одно, лежащее в интервале, которое обозначают argz и называют главным значением аргумента:

(2.6)

Очевидно, что

(2.7)

Из формул (2.5) и (2.6) следует:

(2.8)

Пример 2

Дано комплексное число .

Необходимо: найти модуль комплексного числа, изобразить число на комплексной плоскости, найти главное значение аргумента комплексного числа.

Решение

Используем формулу (*) и находим модуль комплексного числа:

Изобразим число на комплексной плоскости (рис. 2.2).

Определим главное значение аргумента комплексного числа, используя формулу (2.8), так как т. е. , то

На комплексной плоскости это окружность ражиуса sqrt(2).