Можно ли мужчине через суд доказать отцовство, если ребёнок был рождён вне брака? (Далее внутри...)

Нужен ДНК тест, а уже потом на основе теста в суд.

Сначала в суд, а потому уже экспертиза ДНК, если суд назначит. Частный тест никакого значения не имеет.

Про мат. вложения в ребёнка в курсе? Их просто нет в вашем перечне.

да,
суд - тест ДНК (за ваш счет, естественно)
и будет не только "общение с родней", но и АЛИМЕНТЫ на ребенка

Элементарно. Сделать тест ДНК. И потом решение суда. Как только вступит в силу, вы будете нести обязанности по содержанию ребёнка. Насчет смены фамилии ребёнка на вашу по сложнее.

В суде и решайте вопросы об установления отцовства, затем порядок встреч установите по суду,с вас взыщут алименты.

Подать в суд заявление об установлении отцовства

Хочу Вас "обрадовать" - если мать будет категорически против вашего общения, то у нее существует масса законных способов сделать так, что ни Вы ни Ваши родственники не сможете встречаться с ребенком ( самое простое - переедет за 1000-1500 км). Смена фамилии ребенку тоже под большим вопросом - по практике если мать против, то ребенок чаще всего остается с фамилией того, с кем постоянно проживает.
А вот обязанности по содержанию этого ребенка с Вас уже никто не снимет - и будете выплачивать алименты минимум до 18-летия ( плюс вопросы наследования и т.п).
В общем целом - если мать категорически против, я бы не рекомендовала настаивать на юридическом отцовстве. Решите сначала этот вопрос де-факто, а уж потом, в случае успеха - де-юре.