Помогите на Java выполнить прохождение по символам в HashMap. См внутри

Да хоть циклом, хоть стримом. Только вы бесполезно стрим используете, вы находите только один случайный первый entry. Почему не все сразу?

Исходить надо из постановки задачи, а не из кода на скрине. По какому условию нужно выбирать между билдерами, и сколько раз и в каком порядке добавлять в них символы? От этого вообще весь алгоритм может зависеть.

И потом, что значит "лучше", кому "лучше"? Выбери одну парадигму и в ней реализуй. Если цикл, то цикл, если стрим, то стрим. А у тебя их уже зоопарк в такой короткой программе.

Как общий принцип, стримы Java заточены под редукцию в один аккумулятор (метод Stream.collect). Можно и в два билдера собирать в параллель, но потребуется больше кода, т.к. это нестандартный сценарий.

Или можно делать по-колхозному, объявить вне стрима эти два билдера и написать такое вот уродство:

 StringBuilder stbL = new StringBuilder(),
              stbR = new StringBuilder();
hm.entrySet().stream()
    .filter(x -> x.getValue() % 2 == 1)
    .forEach(x -> (условие для x ? stbL : stbR).append(x.getKey())); 

В проектах ПТУшников очень любят такой подход, т.к. слово stream выучили, а программировать в понятиях теории категорий и лямбда-исчисления не научились.

А вот это зачем нужно?

 if (hm.containsKey(ch)) {
    int oldValue = hm.get(ch);
    hm.put(ch, oldValue + 1);
} else {
    hm.put(ch, 1);
} 

Нельзя было проще написать?

 hm.put(ch, hm.getOrDefault(ch, 0) + 1); 

Это вообще зачем размазывать на три строки?

 .filter(x -> {
    return x.getValue() % 2 == 1;
}) 

Есть короткий и более читабельный синтаксис для таких штук:

 .filter(x -> x.getValue() % 2 == 1) 

Об этом даже среда предупреждает и предлагает заменить. Не ленись читать предупреждения среды и устранять их.

Такое впечатление, что готовишься к работе в бодишопе, где платят за строчки кода и прочую имитацию бурной деятельности.