Лариса Крушельницкая
Гений
(53958)
14 лет назад
Берём какую-нибудь функцию, например у = x², находим её значение в какой-нибудь точке, например x = 1, y = 1. Теперь дадим функции небольшое приращение, например Δx = 0.000001 и найдём значение в новой точке: y(1.000001) = 1.000001² ≈ 1.000002. То есть получили трапецию с высотой h = 0.000001 и основаниями a = 1, b = 1.000002. Площадь этой трапеции равна ΔS = (a+b)h/2 = 0.000001000001. Если же мы возьмём прямоугольник с основанием а = 1 и высотой h = 0.000001, то его площадь будет ΔS = ah = 0.000001.
То есть площади трапеции и прямоугольника отличаются на крошечную величину. Оно и понятно, трапеция, у которой основания отличаются всего на 0.0001% – это практически прямоугольник.
Вывод: чем меньше Δx, тем ближе криволинейная трапеция к прямолинейной и тем ближе прямолинейная трапеция к прямоугольнику. Когда Δx устремляется к нулю, криволинейную трапецию с высотой Δx с большой точностью можно считать прямоугольником.
Есть теорема о том, что в точках непрерывности f функция "интеграл от 0 до x от f(x)dx", если она существует, дифференцируема и её производная равна f(x). Поймите доказательство этой теоремы и оно ответит на ваши вопросы.
Суть в том, что нужно рассмотреть F(x+d)-F(x)/d при маленьком d (предел этой вещи при d -> 0 есть по определению производная). Это F(x+d)-F(x) это площадь фигуры под графиком, которая в точке непрерывности при маленьком d почти прямоугольник. Площадь почти прямоугольника делится на длину его стороны, получается почти другая сторона, то есть f(x). Отсюда, переходя к пределу, F'(x)=f(x), что вообщем-то и объясняет ответ на ваш вопрос.Это можно всё строго обосновать, но лучше прочитате где-нибудь.