как правильно пишется побреюсь или побрюсь или ещё как-то

бриться

побреюсь

побреюсь

Ага Поброюсь!))))))))))

А в словарь слабо заглянуть?
Бреюсь
Бриться,
Побрился.

А вы это делать умеете? - можно и поранится!!..

всегда было "побреюсь"!

Подавляющее большинство мужчин начинают бриться в молодости без каких-либо напутствий, послушно имитируя неоднократно виденный ими процесс неустанной борьбы с растительностью на лице. При этом вполне естественно, что очень важные нюансы подготовки кожи к встрече с бритвой, как и ухода за лицом после бритья, этими самыми юношами упускаются.
Отсюда и возникает отношение некоторых мужчин к бритью как к ненавистной и удручающей процедуре, чреватой неприятными ощущениями, порезами и прыщами на лице.

Между тем, профессионалы знают, что нет ничего приятнее и занимательней (!), чем ежедневное бритье. Надо лишь соблюсти некоторые нюансы. Как правильно БРИТЬСЯ!

Толковый словарь Ушакова:

ПОБРИТЬСЯ, побреюсь, побреешься. Сов. к бриться в 1 знач.

БРИТЬСЯ, бреюсь, бреешься, несов.
1. (сов. побриться) . Возвр. и страд. к брить в 1 знач.
2. Не носить бороды и усов. Раньше носил бороду, потом стал бриться.

БРИТЬ, брею, бреешь, несов.
1. (сов. побрить) кого-что. Срезывать кому-н. или на чем-н. волосы до корня. Брить посетителей. Брить лицо.

Побреюсь