Решите матричное уравнение

Question

user_17878396 · Accepted Answer

Действиями над строками (сложение строки со строкой, умноженной на скаляр) приведем матрицу M к ступенчатому виду.
1 4 2
2 2 0
3 0 -2
заметим, что (3 0 -2)=2*(2 2 0)-(1 4 2), следовательно матрицу можно привести к виду
1 4 2
2 2 0
0 0 0
из второй строки вычтем первую, умноженную на 2
1 4 2
0 -6 -4
0 0 0
1 4 2
0 3 2
0 0 0
1 1 0
0 3 2
0 0 0
1 1 0
0 1 2/3
0 0 0
1 0 -2/3
0 1 2/3
0 0 0
Первые строки линейно независмы, таким образом, ранг матрицы M равен 2, следовательно пространство решений имеет размерность 3-2=1
Переменные x и y называются главными, а z свободной.
Система
x+4y+2z=0
2x+2y=0
3x-2z=0
перейдет при этом в систему
x-2/3*z=0
y+2/3*z=0
z может принимать произвольные значения. Пусть z=C, где C - произвольная константа тогда
x=2/3*C
y=-2/3*C
z=C
или в векторном виде
(x, y, z)=C*(2/3, -2/3, 1)