докажите неравенство n! < ((n+1)/2)^n при n > 1...используя мат индукцию, очень благодарен!!!

Question

докажите неравенство n! < ((n+1)/2)^n при n > 1...используя мат индукцию, очень благодарен!!!

Кузнецов Мастер (1829), закрыт 14 лет назад

Answer 1

n = 2: 2 < (3/2)^2 - верно
Пусть верно для n - 1.
Для n:
n! = (n-1)! * n < (n/2)^(n-1) * n = n^n / ( 2^(n-1) ) = 2 * n^n / 2^n < sum{ k = 0,n ; C(n,k) * n^k } / 2^n = [бином Ньютона] = (n+1)^n / 2^n

Answer 2

Предположим n=2
2!=2
(2+1)/2=3/2. В квадрате 9/4
2<9/4 — true

Предположим, что неравенство катит для n=k
Т. е. k!<((k+1)/2)^k
Тогда оно должно катить и для n=k+1
(k+1)!<((k+1+1)/2)^(k+1)
(k+1)!=k!*(k+1)
((k+2)/2)^(k+1)=((k+2)/2)*((k+2)/2)^k
k!*(k+1)<((k+2)/2)*((k+2)/2)^k
Преобразовать последнее выражение, и получить утвердительный результат — вот и всё.