Помогите найти ошибку в софизме!
Все треугольники – равнобедренные.
Эта изящная нелепость также приведена в книге Льюиса Кэррола.
«Пусть ABC – некоторый произвольный треугольник. Разделим его основание BC пополам и из точки деления D проведем прямую DE, перпендикулярную BC. Разделим теперь угол BAC пополам.
1) Если биссектриса этого угла не пересекается с прямой DE, то, значит, они параллельны. Поэтому биссектриса будет перпендикулярна к основанию BC. Следовательно, AB = AC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный.
2) Если биссектриса этого угла BAC пересекается c прямой DE. Обозначим через F. Соединим точку F с точками B и C и проведем из F прямые FG и FH, перпендикулярные сторонам AC и AB соответственно.
Треугольники AFC и AFH будут при этом равны, так как они имеют общую сторону AF, а углы FAG и AGF равны равны углам FAH и AHF. Следовательно AH = AG и FH = FG.
Треугольники BDF и CDF также равны между собой, поскольку сторона DF у них общая, а углы при вершине D равны. Поэтому FB = FC.
Кроме того треугольники FHB и FGC – прямоугольные. Следовательно, площадь квадрата, построенного на FB, равна сумме площадей квадратов, построенных на FH и HB. Точно так же площадь квадрата, построенного на FC, равна сумме площадей квадратов, построенных на FG и GC. Но FB = FC и FH = FG, и, следовательно, площадь квадрата, построенного на HB, равна площади квадрата, построенного на GC. Значит, HB = GC. С другой стороны, ранее было доказано, что AH = AG. Следовательно, AB = AC, т.е. треугольник ABC – равнобедренный.
Таким образом, треугольник ABC в любом случае оказывается равнобедренным, что и требовалось доказать» (и что так далеко от истины).
В первом пункте точно ошибка: эти прямые будут не параллельны - они просто совпадут! А совпадение и параллельность - разные вещи ;)))
Во втором пункте опечатка "Треугольники AFC и AFH будут при этом равны... ". Не AFC, а AFG!
И самая изюминка: дополительные построения на рисунке ВЫПОЛНЕНЫ НЕПРАВИЛЬНО!! ! Во-первых, точка F в Вашем варианте должна оказаться ЗА пределами треугольника ABC. Во-вторых, точка D не делит сторону BC пополам (а по условию делит) . И, в-третьих, линии HFC и BFG должны оказаться не прямыми, а ломаными!
Что должно быть на самом деле. Если выполнить дополнительные построения правильно, то одна из точек G или H должна оказаться внутри треугольника АВС, а вторая - за его пределами на продолжении одной из сторон (AB или AC). Такой рисунок, как Ваш, прилагаемый к задаче, и сбивает с толку, превращая ее в софизм. Хотя, если выполнено условие по пункту 1, то треугольник был изначально равнобедренный! :)))
1) Если биссектриса этого угла не пересекается с прямой DE, то, значит, они параллельны.
Это правило касается только прямых - а у нас отрезки... ( Если сотреть на приведенныйрисунок, то елементарно можно допустить, что Е находится ниже отрезка параллельного ВС и проходящего через F, но DE все равно будет перпендикулярно ВС.
Цитата:
«Треугольники BDF и CDF также равны между собой, поскольку сторона DF у них общая, а углы при вершине D равны. Поэтому FB = FC.»
Для равенства треугольников необходимо равенство стороны и двух углов. Но углы при вершине F не равны, значит треугольники не равны и FB ≠ FC.
Все дальнейшие рассуждения ошибочны, так как основаны на этом ложном заключении.
Изящной нелепицей это трудно назвать. Скорее жульничество, основанное на отвлечении внимания, как у напёрсточников на вокзале.
