Не молгу решить задачу на оптимизацию

Question

Не молгу решить задачу на оптимизацию

KazeZlat Профи (855), закрыт 14 лет назад

Сторона квадрата ABCD равна 8 см. На сторонах AB и BC взяты соответственно точки P и E так, что BP=BE=3 см. На сторонах AD и CD берутся точки, соответственно, K и M так, что четырехугольник KPEM - трапеция. Чему равна наибольшая площадь такой трапеции?

Не понимаю как составить уравнение оптимизируемой величины, т.е. какую величину взять за x и как из данных длин получить уравнение. Как нам объясняли, такие задачи решаются в 3 этапа: Составление модели задачи, Работа с моделью и Анализ полученных данных. Так вот я не могу составить модель, а остальное сделаю сам, только подскажите, ок?

Answer 1

Сторона квадрата АВ = 8 см, ВР = ВЕ = 3 см. Поскольку КРЕМ - трапеция, то КМ параллельно РЕ, поэтому DK = DM = x.
Длина одного основания РЕ = 3*корень (2), длина другого КМ = х*корень (2), меняется от 8*корень (2) до 0.
Диагональ квадрата АС = BD = 8*корень (2). Трапеция показана на Рис. 1.
Точки К и М в одном крайнем положении совпадают с А и С, в другом - обе совпадают с D, тогда трапеция вырождается в треугольник. Два крайних положения показаны на Рис. 2.
Длина BN = PN = EN = 3*корень (2)/2. Длина DF = KF = MF = x*корень (2)/2. Длина OB = BD/2 = 4*корень (2)
Высота трапеции FN = BD - BN - DF = 8*корень (2) - 3*корень (2)/2 - x*корень (2)/2.
Площадь трапеции
S = (PE + KM) * FN / 2 = (3*корень (2) + х*корень (2)) * (8*корень (2) - 3*корень (2)/2 - x*корень (2)/2) / 2
S = корень (2) * (3 + x) * корень (2) * (8 - 3/2 - x/2) / 2 = (3 + x)(16 - 3 - x)/2 = (3 + x)(13 - x)/2 -> max
Неожиданно простая функция получилась. Дальше находим производную, и приравниваем к 0.
S ' = [ (13 - x) - (3 + x) ] / 2 = (10 - 2x) / 2 = 5 - x = 0
x = 5
Ответ: точки К и М должны быть на расстоянии 5 см от точки D.