Что такое обособленное обстоятельство?

Обособленными являются члены предложения, выделенные по смыслу и интонационно. Они содержат элемент добавочного сообщения, следовательно, обособление тесно связано с сообщительной функцией предложения, т. е. с его смысловой целенаправленностью. Выделенные члены предложения, приобретя относительную самостоятельность, получают большую, по сравнению с обычными членами, смысловую значимость.
Конкретнее по Вашему вопросу:
1) Деепричастия и деепричастные обороты обычно употребляются в качестве обособленных обстоятельств. Например, Постояв, он двинулся вперед.
2) Некоторые Обстоятельство обособленноеобстоятельства, выраженные падежными формами имен существительных и, реже, наречиями, обособляются в результате приобретения в предложении дополнительной смысловой нагрузки. Особенно это характерно для обстоятельств времени и места: Однажды весною, в час небывалого жаркого заката, в Москве, на Патриарших прудах, появились два гражданина (Булг.) . Эти обстоятельства намеренно выделяются с целью подчеркивания их значимости.

Обособленные обстоятельства могут присоединяться словами ввиду, вследствие, благодаря, по причине, вопреки, за неимением, в случае, во избежание, согласно, по случаю, несмотря на и иметь различные обстоятельственные значения: причины - Вследствие множества наехавших гостей, никто не спал в одиночку (Т.) ; условия - Я стал на углу площадки, крепко упершись левой ногой в камень и наклоняясь немного вперед, чтобы, в случае легкой раны, не опрокинуться назад (Л.) ; уступки - В домах, несмотря на ранний час, горели лампы (Пауст.) ; Баранов, вопреки намекам начальства о необходимости ничего не замечать, подошел на своем пароходе к толпе (Пауст.) ; времени - С приближением неприятеля к Москве, взгляд москвичей на свое положение не только не сделался серьезнее, но, напротив, еще легкомысленнее (Л. Т.) . Все эти обстоятельственные обороты осложняют простое предложение дополнительной предикативностью, в результате чего предложение в целом становится синонимичным сложному с соответствующей придаточной частью.
3) Реже обособляются обстоятельства, выраженные наречием, например: На другой день к вечеру, рысцой, прибежал Алексей (М. Г.) ; У калитки, весною, всегда останавливается разносчик Егорка с тирольскими пирожками (Купр.).