Каждое из чисел 9, 10, …. 17 умножают на каждое из чисел 3, 4, …. 8 и перед каждым из полученных произведений произвольн

Question

Каждое из чисел 9, 10, …. 17 умножают на каждое из чисел 3, 4, …. 8 и перед каждым из полученных произведений произвольн

Любовь Глебова Ученик (96), закрыт 14 лет назад

Дополнен 14 лет назад

Каждое из чисел 9, 10, …. 17 умножают на каждое из чисел 3, 4, …. 8 и перед каждым из полученных произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Answer 1

Наибольшая сумма будет 3861, когда все со знаком плюс (или, для модуля, когда все со знаком минус) .
Теперь заметим, что меняя знак у одного из слагаемых, мы уменьшаем (увеличиваем) сумму на четное число. Таким образом нуль получить невозможно (поскольку наибольшая сумма нечетна) .
Но возможно получить в сумме 1.
Например, так:
Обозначим s1 сумму (9,10,11,12,13,14,15,16,17) c с произвольно расставленными знаками (это не какое-то конкретное число) .
а полная сумма равна 3·s1+4·s1+5·s1+6·s1+7·s1+8·s1 (еще раз - s1 в каждом члене может быть разным) .
Одно из значений s1 такое 9-10+11+12+13+14-15-16-17 = 1 (а со сменой знака -1),
поэтому достаточно "поманипулировать" знаками чисел второго ряда, чтобы получить
-3+4+5-6-7+8 = 1

Дополнено. Пока писал, появился ответ Булата, у которого это проще объяснено, просто у него не получилась у 9...17 расставить знаки так, чтобы получить 1 (и нет доказательства, что невозможно получить 0).

Answer 2

Очевидно наибольшая когда все будут с плюсом или с минусом, а наименьшая кажется 8*17 минус все остальные произведения, но это не факт...

Answer 3

Наибольшую сумму - понятно, а для наименьшей могу только оценку сверху дать: не больше 5:
(9+10-11+12-13+14-15+16-17) * (-3+4-5+6+7-8) = 5*1 = 5

Answer 4

не могли бы Вы объсянит это предложение "Теперь заметим, что меняя знак у одного из слагаемых, мы уменьшаем (увеличиваем) сумму на четное число. "?
почему на четное? ?
скажем -9*3

это -27

Answer 5

даа.. . задачка хорошая С 6....как раз, завтра ЕГЭ ...может попадется что то подобное

Answer 6

Может быть, у меня какое-то затмение, но мне кажется так.
Наибольшая сумма будет тогда, когда все 54 произведения взяты с плюсом. Она равна
(9+10+...+17)(3+4+...+8)=\frac {9+17} {2}\cdot9 \cdot \frac {3+8} {2} \cdot 6=3861
Далее, при любом выборе знаков плюс и минус полученная сумма будет целым нечетным числом (среди 54 произведений имеется ровно 15 нечетных - произведения чисел 9, 11, 13, 15, 17 на числа 3, 5, 7), поэтому по модулю не меньше 1. Пример, когда она равна 1, можно получить, раскрыв скобки в выражении
(9+10+11-12+13-14-15+16-17)(3-4-5+6-7+8)=1

Answer 7

Для Дианы Акопян: Потому, как вычитать из суммы число 27 придётся дважды.

Answer 8

Каждое из чисел 13, 14, ..21 умножаются на каждое из чисел 1, 2, ..6 и перед жаждым из полученных произведений произведений произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего всё 54 полученных результета сказывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить и итоге?

помогите решить..

Answer 9

Ася Профи (798) 14 лет назад

Answer 10

Есть очень похожая задача:
Перед каждым из чисел 10,11,...20 и 4,5,...8 произвольным образом ставят знак плюс или минус, после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 55 полученных результатов складывают. Какую наименьшую и наибольшую по модулю сумму можно получить в итоге?

Но в этой задаче нельзя составить такую матрицу, как для произведения.

Понятно, что макимальной сумма будет, если у первого набора чисел будут плюсы, а у второго минусы. Сумма получится 1155.
Для минимума аналогично предыдущей задаче объясняется, почему не может быть 0.
Как же найти минимум? Методом перебора получается, что минимум - это 5. Но как это оформить так же красиво?
Единственное, что удалось придумать - это записать сумму в виде: 5*(a1*10+a2*11+...+a11*20)-11*(b1*4+b2*5+...+b5*8)