как найти разложение вектора x по векторам p.q.r

Question

как найти разложение вектора x по векторам p.q.r

ELKA Профи (675), закрыт 13 лет назад

x=(6. -1 .7) p=(1. -2 . 0) q=(-1. 1. 3) r=(1. 0. 4)
2) Найти косинус угла между векторами АВ и АС, если А(-1, -2, 1), В(-4,-2,5) С(-8, -2, 2)
3)вычислить площаь параллелограмма построенного на векторах а и в
а=4p-q. d=p+2q |p|=5 |q|=4 угол между p и q равен П/4
всем заранее спасибо

Answer 1

1. Найти вектор икс в базисе п-ку-эр.
----Для этого надо построить (составить) матрицу M из вектор-столбцов ортов (кажется, их даже мона не нормировать) пэ-ку-эр. ----Далее умножаешь M * икс = вектор икс в новом базисе. (это и есть разложени)
______________________________________________________

2. Составить векторы АВ и АС (по правилу конец минус начало) , далее из скалярного произведения выразить косинус и подставить числа.
AB = (-4 +1, -2+2, 5-1) = (-3, 0, 4), |AB| = sqrt ( 9+16 ) = 5
AC = (-8+1, -2+2, 2-1) = (-7, 0, 1). |AC| = sqrt (50) ~ 7.07

(AB, AC) = |AB| |AC| cos(t), => cos(t) = (AB, AC) / |AB| |AC| = ( -3*(-7) + 0 + 4*1)/ (5*7.07) = 25/5/7.07 ~ 0.707... << ответ
Нуль семьсот семь получилось, а это "корень из 2 пополам" , угол t тогда пи/4
_______________________________________________________

3. Площадь параллелограмма это модуль векторного произведения. [a,d],
Учитывая, что [p, q] = |p| |q| sin пи/4 = |p||q| sqrt(2)/2 , |p| = 5, |q| = 4

..решаем.. . [a,b] = [4p - q, p + 2q] = 4[p, p] + 8[p, q] - [q, p] - 2[q, q] =
= 4p^2 - 2q^2 + 9* 4*5 sqrt(2)/2 =
= 4* 25 - 2* 16 + 9*20*sqrt(2) /2 =
=100 - 36 + 180 *sq2/2 ~ 191

ps Там + 8[p, q] - [q, p] = 8[p,q] + [p,q] = 9[p,q]
(знак меняется при перестановке)

Answer 2

1) Решаем систему
x = a*p + b*q + c*r
{ 1*a + (-1)*b + 1*c = 6
{ (-2)*a + 1*b + 0*c = -1
{ 0*a + 3*b + 4*c = 7

{ a - b + c = 6
{ -2a + b = -1
{ 3b + 4c = 7

{ a - b + c = 6
{ a = (b + 1)/2
{ c = (7 - 3b)/4

(b + 1)/2 - b + (7 - 3b)/4 = 6
2(b + 1) - 4b + 7 - 3b = 24
2b + 2 - 4b + 7 - 3b = 24
-5b = 24 - 9 = 15
b = -3
a = (-3 + 1)/2 = -1
c = (7 + 9)/4 = 4

x = - p - 3q + 4r

Answer 3

1)Пусть а, в, с-числа, тогда х=ар+вq+cr
ар=(а, -2а, 0)
вq=(-в, в, 3в)
сr=(с, 0,4с), составляем систему уравнений, учитывая, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты
а-в+с=6
-2а+в=-1
3в+4с=7,решая её,найдём а=-1,в=-3,с=4.Разложение вектора х будет иметь вид
х=-p-3q+4r