Подскажите, араб, аравийский, кара, ара - есть общий корень, и что он обозначает?

Общий корень есть только у слов "араб" и "аравийский". "Араб" означает "житель пустыни". К попугаю и наказанию эти два слова никакого отношения не имеют.

Слова "кара" и "карать" родственны глаголу "корить" и устаревшему слову "кор". (а/о - частое чередование гласных в русском языке) .
Вот что можно найти у Фасмера:
КАРА "наказание", укр. ка́ра, сербск. -цслав. кара "ссора", сербохорв. ка̑р, род. п. ка́ра "порицание, наказание", ка̑р ж. "ссора", словен. ка̑r м. "ссора", чеш. kárа "упрек, наказание", слвц. kára, польск. kara "наказание". Сюда же кара́ть; с другим вокализмом; кори́ть (см.) .
КОР "оскорбление, брань", только стар. ; сюда же уко́р, поко́р "упрек, порицание, позор", на переко́р, ст. -слав. оукоръ ὕβρις, цслав. коръ, болг. кор, сюда же: кори́ться, по-кори́ть, укр. кори́ти "укорять, порицать", болг. коря́ "порицаю", сербохорв. ко̀рити, ко̀ри̑м "укорять", словен. koríti "наказывать", чеш. kořiti "смирять, преклонять голову перед к. -л. ", слвц. kоrit᾽, польск. korzyć "унижать, смирять", в. -луж. po-korić; другая ступень чередования: кара́ть, ка́ра.
Родственно лтш. karinât "дразнить, раздражать", вост. -лит. kìrinti -- то же, греч. κάρνη ̇ ζημία. αὑτόκαρνος ̇ αὑτοζήμιος (Гесихий) , лат. carināre "поносить, высмеивать", др. -ирл. c̨aire "упрек"; см. Бернекер 1, 578 и сл. ; Бецценбергер у Стокса 71; Вальде--Гофм. 1, 168 и сл. Не связано, по-видимому, с лит. kãrias "войско", kãras "война", др. -перс. kāra- "войско, народ", ирл. cuire "войско", гот. harjis, д. -в. -н. heri -- то же, греч. κοίρανος "военачальник, повелитель" (вопреки Фику (1, 377), Траутману (ВSW 118), И. Шмидту (Verw. 51)), а также с русск. -цслав. чаръ "чары, волшебство" (вопреки Ильинскому, РФВ 61, 238).

Есть интересные книжки о происхождении слов.
Введение в языкознание, учебник для вузов (любой автор, любое издание)
Откупщиков, Ю. В. К истокам слова : рассказы о происхождении слов
Этимологический словарь (из больших - Фасмер, из не очень - Шанский с Бобровой, Рут и др.)