Как доказать что функция F есть первобразная для функции f?

Функция F называется первообразной для функции f на промежутке, если для всех x из этого промежутка F'(x) = f(x)
Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:
F¢(x) = f(x).
Пример
Методы интегрирования Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Способ подстановки (замены переменных)
Если требуется найти интеграл, но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = j(t) и dx = j¢(t)dt получается:

Интегрирование по частям

Способ основан на известной формуле производной произведения: (uv)¢ = u¢v + v¢u

где u и v – некоторые функции от х. В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu

Примеры
Интегрирование элементарных дробей
Примеры
Интегрирование рациональных функций
Пример.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда. Интеграл вида Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx..

Интеграл произведения синусов и косинусов

Интегрирование некоторых иррациональных функций Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.
Интегрирование биноминальных дифференциалов Биноминальным дифференциалом называется выражение xm(a + bxn)pdx где m, n, и p – рациональные числа.
Тригонометрическая подстановка
Подстановки Эйлера Метод неопределенных коэффициентов
Примеры