Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора

Question

Ортогональная проекция и ортогональная составляющая вектора

AFenics Ученик (145), закрыт 14 лет назад

Помогите решить задачу :(

"В евклидовом пространстве R3 найти ортогональную проекцию y и ортогональную составляющую z вектора x = (1,2,3) относительно плоскости L, порожденной векторами a1 = (1,2,1) и a2 = (0,1,0)."

Answer 1

Искомое разложение имеет вид:
x=u+v, где u=p*a1+q*a2,
p и q - искомые коэффициенты,
вектор v ортогонален к a1 и a2.

Умножаем скалярно:
(x,a1)=p*(a1,a1)+q*(a1,a2)
(x,a2)=p*(a1,a2)+q*(a2,a2)

Решив эту систему, получим: p=2, q=-2.
Теперь v=x-u.

Answer 2

Если я правильно понял условие.. .
Не ограничивая общности предположим, что наша плоскость L проходит через (0,0,0):
Соответсвенно след. точки принадлежат плоскости
(0,0,0), (1, 2, 1), (0, 1, 0):
Составим уравнение плоскости
| x - x0 y - y0 z - z0|
|x1 - x0 y1 - y0 z1 - z0| = 0
|x2 - x0 y2 - y0 z2 - z0|
|x y z |
|1 2 1| = 0
|0 1 0|
x(-1) - y (0) + z(1) = 0
z - x = 0
Чтобы найти проекцию вектора на плоскость - нужно найти проекцию точки на плоскость:
(1 - x0, 2 - y0, 3 - z0)(1, 2,1) = 0
(1 - x0, 2 - y0, 3 - z0)(0,1,0) = 0
2 - y0 = 0
y0 = 2
1 - x0 + 3 - z0 = 0
x0 + z0 = 4
z0 - x0 = 0
= >
x0 = z0 = 2
(2, 2, 2) - (0,0,0) = (2,2,2) - проекция

Ортогональная составляющая:
(1 - x0, 2 - y0, 3 - z0) = (-1, 0, 1)