когда пишется твердый знак, а когда мягкий?

Мягкий знак может выполнять две функции: обозначать мягкость согласного (м е л ь) и указывать на йотированное произношение гласных и, е, ё, ю, я (разделительная функция - б ь ё т) . Твёрдый знак может быть только разделительным и пишется только после приставки, а также в заимствованных словах вида а д ъ ю т а н т, и н ъ е к ц и я, где первая часть в языке-источнике являлась приставкой.