Я занят. Какая часть речи слово занят?

В предложении _Я занят_ ЗАНЯТ – это КРАТКОЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНОЕ.

В русском языке есть причастие ЗАНЯТЫЙ. Оно образовано от глагола ЗАНЯТЬ при помощи суффикса -Т- и имеет краткие формы ЗАНЯТ, ЗАНЯТА, ЗАНЯТО, ЗАНЯТЫ. Эти краткие формы имеют омоформы – прилагательные ЗАНЯТ, ЗАНЯТА, ЗАНЯТО, ЗАНЯТЫ, образованные путём перехода из причастий.

ПУТЬ ЗАНЯТ (то есть его кто-то занял), ДЕРЕВНЯ ЗАНЯТА ПЕХОТОЙ (то есть деревню пехота заняла) – здесь слова ЗАНЯТ, ЗАНЯТА не утратили связи с глаголом, от которого образованы, имеют такие морфологические признаки глагола, как страдательный залог, совершенный вид, прошедшее время. Это КРАТКИЕ СТРАДАТЕЛЬНЫЕ ПРИЧАСТИЯ

Теперь посмотрим на Ваше предложение.

Я ЗАНЯТ.

Слово ЗАНЯТ:
◆ не связано лексическим значением с глаголом ЗАНЯТЬ (говорящего / пишущего никто не занял);
◆ употреблено в переносном значении – несвободен;
◆ на вопрос КАКОВ Я? отвечает;
◆ обозначает признак предмета (лица, от имени которого идёт повествование);
◆ употребляется в нормированное речи только в краткой форме;
◆ изменяется по числам, а в единственном числе – по родам (занят, занята, занято, заняты):
– Он занят чтением;
– Валя будет занята приготовлением обеда;
– Правление фирмы было занято обсуждением отчёта;
– Мы заняты.

ВЫВОД: и в Вашем предложении, и в моих примерах ЗАНЯТ и другие словоформы этого слова – КРАТКИЕ ПРИЛАГАТЕЛЬНЫЕ.
.