Кто знает про так называемый ряд Фибоначи?

Последовательность чисел Фибоначчи начинается так:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 …
Иногда Числа Фибоначчи рассматривают для отрицательных n Ряд, соответствующий определению чисел Фибоначчи (Fn = Fn − 1 + Fn − 2): ...-55, 34, -21, 13, -8, 5, -3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, ..

n -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fn -55 34 -21 13 -8 5 -3 2 -1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Легко видеть, что F − n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств (но не все!) .

Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (т. е. является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост) . Обратное не верно, первый контрпример — . Неизвестно, бесконечное ли количество чисел Фибоначчи являющихся простыми.
Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет корни φ и - 1 / φ.
Отношения являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности, .
Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
.
В 1964 J. H. E. Cohn доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:

Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений полинома
z = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,
на множестве неотрицательных целых чисел x и y (P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p.193).

Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры - с периодом 1500, по четыре - с периодом 15000, по пять - с периодом 150000, по шесть - с периодом 1500000.