Может ли руководитель подать в суд на секретаря Городской Больницы за халатность и несправления с обязанностями?

да, если это имело преступные последствия

Нет, он может ее уволить или иные меры дисциплинарного воздействия применить. Вообще, интересно выглядел бы руководитель, судящийся со своими нерадивыми сотрудниками: -))

А по ТК РФ решить вопрос не пробовали? Если есть материальные претензии и нет адм. ресурса решить их, соберите доказательства и сформулируйте ясно требования, что Вы хотите получить по суду от секретаря (возмещение ущерба и т. д.)

В суде спорят или устанавливают бесспорное. В случае с работником суд излишен. У работодателя имеются полномочия решить проблемы трудовых правоотношений с работником во внесудебном порядке. Но работник как раз и может оспорить действия работодателя, если найдет тому основания.

В соответствии со статьей 22 Трудового кодекса РФ, -
Работодатель имеет право:
заключать, изменять и расторгать трудовые договоры с работниками в порядке и на условиях, которые установлены настоящим Кодексом, иными федеральными законами;
вести коллективные переговоры и заключать коллективные договоры;
поощрять работников за добросовестный эффективный труд;
требовать от работников исполнения ими трудовых обязанностей и бережного отношения к имуществу работодателя (в том числе к имуществу третьих лиц, находящемуся у работодателя, если работодатель несет ответственность за сохранность этого имущества) и других работников, соблюдения правил внутреннего трудового распорядка;
привлекать работников к дисциплинарной и материальной ответственности в порядке, установленном настоящим Кодексом, иными федеральными законами;
принимать локальные нормативные акты (за исключением работодателей - физических лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями);
Ремкомендую ознакомится со ст. 81 Трудового кодекса РФ - расторжение трудового договора по инициативе работодателя. При данной процедуре увольнения необходима доказательная база по отрицательным деяниям связанных с деятельностью работника. Удачи!

Пункт 3 - несоответствие работника занимаемой должности или выполняемой работе. Этот пункт изложен в новой редакции и в отличие от прежней предусматривает одну причину, препятствующую продолжению работником работы и являющуюся основанием для увольнения его по инициативе работодателя, - несоответствие занимаемой должности или выполняемой работе. Это недостаточная квалификация работника, подтвержденная результатами аттестации.
Увольнение работника по данному основанию допустимо при условии, если несоответствие работника занимаемой должности вследствие его недостаточной квалификации подтверждено результатами аттестации. Иначе говоря, правила о проведении аттестации для решения вопроса об увольнении в связи с недостаточной квалификацией должны применяться ко всем работникам, в отношении которых ставится вопрос о несоответствии их занимаемой должности или выполняемой работе. Учитывая это, работодатель не вправе расторгнуть трудовой договор с работником по названному основанию, если в отношении этого работника аттестация не проводилась либо аттестационная комиссия пришла к выводу о соответствии работника занимаемой должности. При этом выводы аттестационной комиссии о деловых качествах работника подлежат оценке в совокупности с другими доказательствами по делу (п. 31 Постановления Пленума ВС РФ от 17 марта 2004 г.) .
В соответствии с ч. 2 ст. 81, изложенной в новой редакции, порядок проведения аттестации устанавливается трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, локальными нормативными актами, принимаемыми с учетом мнения представительного органа работников.
В качестве примера можно назвать некоторые категории работников, в отношении которых нормативными правовыми актами установлен порядок и условия проведения аттестации.
Например, руководители федеральных государственных унитарных предприятий аттестуются в соответствии с Положением, утв. Постановлением Правительства РФ от 16 марта 2000 г. N 234 "О порядке заключения трудовых договоров и аттестации руководителей федеральных государственных унитарных предприятий" (СЗ РФ. 2000. N 13. Ст. 1373). Государственные гражданские служащие - в соответствии с Положением о проведении аттестации государственных гражданских служащих Российской Федерации, утв. Указом Президента РФ от 1 февраля 2005 г. N 110 (СЗ РФ. 2005. N 6. Ст. 437). Лица, занимающие должности исполнительных руководителей и специалистов организаций и их подразделений, осуществляющих перевозку пассажиров и грузов, проходят аттестацию в соответствии с Положением, утв. Приказом Минтранса России и Минтруда России от 11 марта 1994 г. N 13/11 (БНА РФ. 1994. N 7), и др.
Порядок проведения аттестации, предусмотренный в названных и других нормативных правовых актах, может быть взят за основу и для разработки локальных нормативных актов, устанавливающих порядок аттестации работников, в отношении которых ставится вопрос об увольнении в связи с несоответствием их занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации.
Увольнение в связи с обнаружившимся несоответствием работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации согласно п. 3 ст. 81 допускается при условии, если невозможно перевести работника с его согласия на другую работу (см. п. 3 комментария к рассматриваемой статье) .
Если работник был уволен по п. 3 ст. 81, то работодатель обязан представить доказательства, свидетельствующие о том, что работник отказался от перевода на другую работу либо работодатель не имел возможности (например, в связи с отсутствием вакантных должностей или работ) перевести работника с его согласия на другую работу в этой же организации (п. 31 Постановления Пленума ВС РФ от 17 марта 2004 г.) .
Для увольнения по п. 3 ст. 81 работника, являющегося членом профсоюза, необходимо также мотивированное мнение соответствующего выборного профсоюзного органа (см. комментарий к ст. 82).

Он может и без суда уволить секретаря по этим основаниям.