Сколько существует нерешимых задач математики и какие они?

В 1900 году на международном математическом конгрессе в Париже Дэвид Гилберт изложил список проблем, которые предстояло решить в ХХ веке. В списке было 23 пункта. 21 из них решены в 20 веке и последней решенной- теорема Ферма.
В конце 20 века многие математики сформировали список стратегических задач на 21 век. Миллиардер Лэндон Клэй выделил 7 млн $ в премиальный фонд. К двух из 20 века добалили каким-то образом 5 и появился список: Millennium Prize Problems

1. Проблема Кука (1971)
Допустим, что вы, находясь в большой компании, хотите убедиться, что там же находится ваш знакомый. Если вам скажут, что он сидит в углу, то достаточно будет доли секунды, чтобы, бросив взгляд, убедиться в истинности информации. В отсутствие этой информации вы будете вынуждены обойти всю комнату, рассматривая гостей. Это говорит о том, что решение какой-либо задачи часто занимает больше времени, чем проверка правильности решения.
Стивен Кук сформулировал проблему: может ли проверка правильности решения задачи быть более длительной, чем само получение решения, независимо от алгоритма проверки.

2. Гипотеза Римана (1859)
Нет закономерности распределения простых чисел среди ряда всех натуральных чисел.. .Риман предположил, что т. н. ряд "близнецов" (простые числа с разностью =2: 5и7, 17и19...) бесконечен. Появилось сообщение, что эту проблему решил француз Луи де Бранж де Бурсия и выложил доказательство в инете:
http://www.math.purdue.edu/~branges/site

3. Гипотеза Берча и Свиннертон-Дайера (1960)
Связана с описанием множества решений некоторых алгебраических уравнений от нескольких переменных с целыми коэффициентами. Примером подобного уравнения является выражение x2 + y2 = z2. Эвклид дал полное описание решений этого уравнения, но для более сложных уравнений поиск решений становится чрезвычайно трудным.

4. Гипотеза Ходжа (1941)
В ХХ веке математики открыли мощный метод исследования формы сложных объектов. Основная идея заключается в том, чтобы использовать вместо самого объекта простые "кирпичики", которые склеиваются между собой и образуют его подобие. Гипотеза Ходжа связана с некоторыми предположениями относительно свойств таких "кирпичиков" и объектов.

5. Уравнения Навье - Стокса (1822)
Это система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой жидкости. В настоящее время эти задачи решаются приближенными методами.. .Аналитическому решению данные уравнения пока не поддаются.

6. Проблема Пуанкаре (1904)
Если натянуть резиновую ленту на яблоко, то можно, медленно перемещая ленту без отрыва от поверхности, сжать ее до точки. С другой стороны, если ту же самую резиновую ленту соответствующим образом натянуть вокруг бублика, то никаким способом невозможно сжать ленту в точку, не разрывая ленту или не ломая бублик. Говорят, что поверхность яблока односвязна, а поверхность бублика - нет. Но доказательства, что односвязна только сфера -нет. А возможно.. .

РОССИЯНЕ! ВНИМАНИЕ!
Та-та-та-таааааааааааааааааааа!: )
Санкт-Петербург! Григорий Перельман и фрагмент его решения проблемы Пуанкаре



7. Уравнения Янга - Миллса (1954)
Физики Янг и Миллс, обнаружив связь между геометрией и физикой элементарных частиц, написали свои уравнения. Тем самым они нашли путь к объединению теорий электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий. Из этих уравнений следовало существование частиц, которые действительно наблюдались в лабораториях во всем мире, поэтому теория Янга - Миллса принята большинством физиков, несмотря на то, что в рамках этой теории до сих пор не удается предсказывать массы элементарных частиц