Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Лучший ответ
Игорь Елкин
(49548)
12 лет назад
Тебя запутали разные геометрии.
Действительно, если рассмотреть пространство с геометрией Евклида, то там двухмерная сфера - окружность.
Но двухмерная сфера в общем виде - это поверхность и если эту поверхность представить, как плоскость не евклидовой геометрии, то тогда тогда твоя дух мерная сфера - это поверхность тех мерного шарика.
Основные отличия:
1) эта сфера должна быть разделена на верхнюю и нижнюю части. В трех координатах взаимно однозначно не задать целиком поверхность, если её разделить, то можно. Это делается для взаимно однозначного соответствия выражения координат поверхности и стереографической проекции (так называемого гомеоморфизма) .
2) когда мы отобразили верхнюю и нижнюю части поверхности шара на стереографическую проекцию мы получили многообразие (из двух карт) , теперь можно пользоваться для описания этой проекцией. Только её метрика будет отличаться от евклидовой - она образована метрикой сферы и евклидовой метрикой.
Всё это тебе написали в определениях, только язык тебе был не понятен и поэтому ты написал - без комментариев.
На самом деле все не сложно.
Действительно, если рассмотреть пространство с геометрией Евклида, то там двухмерная сфера - окружность.
Но двухмерная сфера в общем виде - это поверхность и если эту поверхность представить, как плоскость не евклидовой геометрии, то тогда тогда твоя дух мерная сфера - это поверхность тех мерного шарика.
Основные отличия:
1) эта сфера должна быть разделена на верхнюю и нижнюю части. В трех координатах взаимно однозначно не задать целиком поверхность, если её разделить, то можно. Это делается для взаимно однозначного соответствия выражения координат поверхности и стереографической проекции (так называемого гомеоморфизма) .
2) когда мы отобразили верхнюю и нижнюю части поверхности шара на стереографическую проекцию мы получили многообразие (из двух карт) , теперь можно пользоваться для описания этой проекцией. Только её метрика будет отличаться от евклидовой - она образована метрикой сферы и евклидовой метрикой.
Всё это тебе написали в определениях, только язык тебе был не понятен и поэтому ты написал - без комментариев.
На самом деле все не сложно.
ЗеркалоОракул (76466)
12 лет назад
1. Ну, ясно, что в евклидовом пространстве окружность - это плоская, т.е. двумерная кривая. Но когда говорят о двумерной или трёхмерной сфере, насколько я знаю, обычно имеют в виду размерность самой поверхности, а не размерность пространства, в котором она находится, иначе, логичней было бы сказать "сфера в двумерном пространстве", а не "двумерная сфера". Тем более, что вот эта фраза: "Окружность- двумерное топологическое многообразие!", насколько я понял, ну, никак не может соответствовать истине.
2. Насколько я знаю, при помощи стереографической проекции можно отобразить на плоскость всю сферу за исключением единственной точки - полюса проецирования, которая уходит в бесконечность.
2. Насколько я знаю, при помощи стереографической проекции можно отобразить на плоскость всю сферу за исключением единственной точки - полюса проецирования, которая уходит в бесконечность.
Игорь Елкин
Просветленный
(49548)
1. Я что-то не совсем понял - что именно непонятно.
"Окружность- двумерное топологическое многообразие!" - ну правильно, там же две координаты присутствуют, обе заданы в параметрическом виде. Обычно задают четырьмя картами (можно двумя).
В евклидовом пространстве поверхность трёх мерной сферы задают тремя координатами в параметрическом виде. В этом задании используется уравнение сферы.
2. Устанавливая радиус кривизны (радиус сферы) мы тем самым исключаем одну координату. И описание возможно двумя координатами. Вот и двух мерность.
В этом фильме показали как построить стереографическую проекцию, но не сказали, что обязательное требование - это непрерывность отображения в обе стороны и взаимная однозначность. А так как уравнение сферы разбивается на два (из-за знака перед корнем), то взаимной однозначности нет, поэтому приходится разбивать сферу на кусочки и однозначность получать для кусочков. Не помню что делают с полюсом, кажется выкалывают.
pretty qwertyМыслитель (9187)
4 года назад
Здравствуйте, объясните, - верно ли представление:
"двумерная сфера получается из круга склеиванием всех точек границы в одну. И наоборот, если вырезать в двумерной сфере маленькую дырку и растянуть её, то двумерная сфера расправится в плоский круг.
Аналогично, если взять обычный шарик и склеить все точки его границы в одну, то получится трёхмерная сфера.
Аналогично, наше трёхмерное пространство — это просто трёхмерная сфера с вырезанной дыркой. Если смотреть на трёхмерную сферу вблизи, то её нельзя отличить от трёхмерного пространства — дырка сильно далеко, и мы её не замечаем."
"двумерная сфера получается из круга склеиванием всех точек границы в одну. И наоборот, если вырезать в двумерной сфере маленькую дырку и растянуть её, то двумерная сфера расправится в плоский круг.
Аналогично, если взять обычный шарик и склеить все точки его границы в одну, то получится трёхмерная сфера.
Аналогично, наше трёхмерное пространство — это просто трёхмерная сфера с вырезанной дыркой. Если смотреть на трёхмерную сферу вблизи, то её нельзя отличить от трёхмерного пространства — дырка сильно далеко, и мы её не замечаем."
Игорь Елкин
Просветленный
(49548)
Я вообще-то плохо понял на счёт "склеивания", скорее всего имелась ввиду бесконечно удалённая точка проективной геометрии. Однако для каждой прямой на плоскости есть своя бесконечно удалённая точка и эти точки образуют прямую, поэтому и здесь нет "склеивания" - это выдумки.
А про "растяжение дырки" - это надо, чтобы растянулось всё в бесконечность, иначе останется радиус кривизны. У нас радиус кривизны не бесконечный. Кроме того это скорее всего не верно, так как тогда будет геометрия Римана на этой плоскости. Но положительных параллаксов не обнаружено, есть только нулевые и отрицательные, так что скорее всего нужна геометрия Лобачевского.
Остальные ответы
Mikhail Levin
(615365)
12 лет назад
вообще-то математика - не богословие и не философия, тут о терминах не спорят. Возникли сомнения - просто говорят "я сегодня буду словом ХХХ обозначать вот это".
Под сферой обычно понимают множество точек, удовлетворяющих уравнению ||x-c||=R^2
Норма тут зависит от рассматриваемого пространства.
Обычная сфера получается в L2 с обычной евклидовой нормой.
Если норма вектора - максимум координат, сфера получится в виде куба.
Размерность тут - любая. В 3d - это сфера и куб, в 2d - окружность и квадрат, в 1d - и то и другое просто пара точек.
можете и другие нормы рассмотреть, например - сумму модулей координат
Под сферой обычно понимают множество точек, удовлетворяющих уравнению ||x-c||=R^2
Норма тут зависит от рассматриваемого пространства.
Обычная сфера получается в L2 с обычной евклидовой нормой.
Если норма вектора - максимум координат, сфера получится в виде куба.
Размерность тут - любая. В 3d - это сфера и куб, в 2d - окружность и квадрат, в 1d - и то и другое просто пара точек.
можете и другие нормы рассмотреть, например - сумму модулей координат
ЗеркалоОракул (76466)
12 лет назад
Ну, я вроде бы спрашиваю о тех понятиях, которые уже введены. Вопрос был, что такое двумерная сфера или сфера S2, а не самое общее представление о сфере.
Mikhail Levin
Искусственный Интеллект
(615365)
повторю:
"математика - не богословие и не философия, тут о терминах не спорят. Возникли сомнения - просто говорят "я сегодня буду словом ХХХ обозначать вот это".
Это не шутка. Ну нет в математике такого: узаконить термин и свято его употреблять.
Половина математиков говорит "действительные числа", другая - "вещественные". Чем серьезнее область - тем больше свободы.
Я присутствовал на семинаре, где выяснилось, что слово "функционал" понимают по-разному. Ну и ладно - "я буду понимать xxx"
Тем более - зачем отдельные термины для сфер разных направлений"
Похожие вопросы
Отделяя мух от котлет.. .Строго говоря Putnik прав- это окружность. Окружность- двумерное топологическое многообразие! А обычная сфера- трехмерное! Да, трехмерная сфера гомеоморфна плоскости и точка на ней может задаваться двумя координатами, но...!Располагается она в трех измерениях и требует для своего существования 3D.
Аналогично- двумерный куб- это квадрат на плоскости!
Я не могу даже прокоментировать этот ответ, чтобы опровергнуть! Ну, во-первых, читаем математическую энциклопедию:
ДВУМЕРНОЕ МНОГООБРАЗИЕ
- топологическое пространство, каждая точка к-рого обладает окрестностью, гомеоморфной плоскости или полуплоскости. Д. м. - наиболее наглядный класс многообразий: к ним относятся сфера, круг, лист Мёбиуса, проективная плоскость, бутылка Клейна и др.
В первой серии фильма [ссылка заблокирована по решению администрации проекта] подробно объясняется, что такое двумерная сфера или сфера S2 и почему она так называется, а делали этот фильм профессиональные математики. Я думаю, любой человек, хорошо знакомый с вопросом, сразу скажет, кто из нас прав. Если я неправ, покажите мне, пожалуйста, хотя бы один авторитетный источник, в котором бы понятие двумерной сферы определялось бы как окружность. Это не обида и не осуждение. Просто вы вводите в заблуждения учеников, давая им ложные представления. Очень надеюсь, что знающие люди зайдут в вопрос и расставят все точки над и. У меня, к сожалению, такой возможности нет, т. к. я никогда не заводил клонов. Не буду здесь приводить ссылку, т. к. это почему-то запрещено и я не хочу, чтоб мой вопрос сразу удалили. На моей странице это последний вопрос, на который я ответил.