Ответы Mail
Домашние задания
Русский язык
Литература
Математика
Алгебра
Геометрия
Иностранные языки
Химия
Физика
Биология
История
Обществознание
География
Информатика
Экономика
Другие предметы
Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Подскажите пожалуйста
ляля
(277),
закрыт
7 лет назад
С можно ли с помощью циркуля и линейки построить правильный пятиугольник, семиугольник, девятиугольник?
Лучший ответ
Чья-то радость
(21139)
13 лет назад
Любой ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки?
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Источник: скопировала, потому что ссылку все равно не напечатают (((
Остальные ответы
Анастасия Алексеева
(1202)
7 лет назад
Любой ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки?
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Владислава Сигаева
(140)
7 лет назад
Любой ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки?
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Татьяна Платонова
(367)
7 лет назад
Любой ли правильный многоугольник можно построить с помощью циркуля и линейки?
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Каково бы ни было натуральное число n, больше двух, существует правильный n-угольник. Отсюда, однако, еще не следует, что с помощью циркуля и линейки такой многоугольник можно построить. Возникает вопрос, какие правильные многоугольники можно построить циркулем и линейкой? Частично ответ на этот вопрос дает следующая лемма:
Если построен какой-нибудь правильный n-угольник, то с помощью циркуля и линейки можно построить правильный 2n-угольник.
Опишем около данного многоугольника А1, А2… Аn oкружность. Для этого построим серединные перпендикуляры a и b к oтрезкам А1 А2 и А2 А3 ( на рисунке n= 4). Они пересекаются в некоторой точке О. Окружность с центром О радиуса ОА1 является описанной около многоугольника А1 А2…Аn. Построим теперь середины B1, B2, …, Bn соответственно дуг А1 А2, А2А3,…, Аn А1 следующим образом. Точки B1и B2 получаются как точки пересечения прямых а и b с дугами А1 А2 и А2 А3. Для построения точки B3 проведём oкружность с центром А3 радиуса А3 B2. Одна из точек пересечения этой oкружности с описанной окружностью есть точка B2, а другая - искомая точка B3. Аналогично строятся точки B4,…, Bn. Соединив каждую из точек B1,B2,…, Bn отрезками с концами соответствующей дуги, получим 2n-угольник А1В1А2В2А3… Аn Bn, который является правильным в силу теоремы о вписанном в окружность многоугольнике
На рисунке по данному правильному четырёхугольнику А1А2А3А4 построен правильный восьмиугольник А1В1А2…В4. Итак, если мы можем построить циркулем и линейкой правильный n-угольник, где n - данное натуральное число, то можно построить правильные 2n-угольник, 4n-угольник и, вообще, (2^k*n)-угольник, где k - любое натуральное число. Знаменитый немецкий математик К. Ф. Гаусс (1777- 1855) доказал следующую интересную теорему:
Построение правильного n-угольника с помощью линейки и циркуля возможно тогда и только тогда, когда число n имеет следующее разложение на множители:
n=2^m*2*p1*p2...ps,
где m-целое неотрицательное число, а p1, p2,...ps-различные между собой простые числа вида 2^2^k+1.
Рассмотрим примеры применения этой теоремы.
При m=0, s=1 число n имеет вид n=2^2^k +1. Для значений k, равных 0, 1, 2, 3, 4, получаем n=3, n=5, n=17, n=257, n=65 537.
При m=0, s=2 имеем n=p1p2. Если, например, р1=3, р2=5, то n=15.
Значит, согласно теореме Гаусса, можно построить циркулем и линейкой правильный 15-угольник, в чём мы убедимся позже (см. задачу 5 раздела" Построение правильных многоугольников")
Число 7 простое, но оно не является числом вида 2^2^k +1, поэтому с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный семиугольник. Точно так же нельзя построить правильный девятиугольник. Отметим, наконец, что число 360=2^3*3^2*5 не удовлетворяет теореме Гаусса, поскольку простое число 3 входит сомножителем два раза.
Следовательно, циркулем и линейкой нельзя построить правильнй 360-угольник. Другими словами, нельзя разделить окружность на 360 равных частей и поэтому циркулем и линейкой нельзя построить угол в 1°.
Похожие вопросы