Можно ли заготавливать банные веники, есть ли за это ответственность

Можно, НО: НЕ ВЕЗДЕ и НЕ ВСЕГДА !

Здесь 2 варианта:

1) Вы заготавливаете веники на продажу.
В этом случае Вам необходимо зарегистрироваться в качестве индивидуального предпринимателя и заключить договоре аренды лесного участка.

Лесной кодекс Российской Федерации
Статья 32. Заготовка и сбор недревесных лесных ресурсов
1. Заготовка и сбор недревесных лесных ресурсов представляют собой предпринимательскую деятельность, связанную с изъятием, хранением и вывозом соответствующих лесных ресурсов из леса.

2. К недревесным лесным ресурсам, заготовка и сбор которых осуществляются в соответствии с настоящим Кодексом, относятся пни, береста, кора деревьев и кустарников, хворост, веточный корм, еловая, пихтовая, сосновая лапы, ели или деревья других хвойных пород для новогодних праздников, мох, лесная подстилка, камыш, тростник и подобные лесные ресурсы.
3. Граждане, юридические лица, осуществляющие заготовку и сбор недревесных лесных ресурсов, вправе возводить навесы и другие временные постройки на предоставленных им лесных участках.
4. Граждане, юридические лица осуществляют заготовку и сбор недревесных лесных ресурсов на основании договоров аренды лесных участков.

4.1. В исключительных случаях, предусмотренных законами субъектов Российской Федерации, допускается осуществление заготовки елей и (или) деревьев других хвойных пород для новогодних праздников гражданами, юридическими лицами на основании договоров купли-продажи лесных насаждений без предоставления лесных участков.
5. Правила заготовки и сбора недревесных лесных ресурсов устанавливаются уполномоченным федеральным органом исполнительной власти.

Правила заготовки и сбора недревесных лесных ресурсов
(утв. приказом Министерства природных ресурсов РФ от 10 апреля 2007 г. N 84)

26. Заготовка веников, ветвей и кустарников для метел и плетения.
Заготовка веников, ветвей и кустарников лиственных пород (береза, осина, ива и др. ) для метел и плетения производится на лесных участках, подлежащих расчистке (квартальные просеки, противопожарные разрывы, трассы противопожарных и лесохозяйственных дорог, сенокосы, линии электропередачи, зоны затопления, полосы отвода автомобильных дорог, железных дорог, трубопроводов и другие площади, где не требуется сохранения подроста и насаждений) , а также со срубленных деревьев на лесосеках при проведении выборочных и сплошных рубок.

2) Вы заготавливаете веники для себя лично:
В этом случае Вам необходимо ознакомиться с законодательством субъекта РФ, где собираетесь этим заняться. Поскольку Вы не указали, где Вы живете, то ответить на данный вопрос невозможно.
В Московской области данный вопрос регламентируется следующим образом:

Закон Московской области от 12 июля 2007 г. N 104/2007-ОЗ
"Об использовании лесов на территории Московской области"

Статья 3. Порядок заготовки и сбора недревесных лесных ресурсов, заготовки пищевых лесных ресурсов и сбора лекарственных растений гражданами для собственных нужд
8. Заготовка веников, ветвей и кустарников для метел и плетения, а также веточного корма производится на лесных участках, где проводится расчистка земель (квартальные просеки, минерализованные полосы, противопожарные разрывы, трассы противопожарных и лесохозяйственных дорог и другие площади, где не требуется сохранения подроста и насаждений) , а также с деревьев, срубленных при проведении лесохозяйственных мероприятий.