А какой породы была собака МУ-МУ ???

Му-му была породистой. Тургенев пишет, что Муму со временем "превратилась в очень ладную собачку испанской породы" . А так тогда назывались спаниели!
Тургенев пишет дальше: "...с длинными ушами, пушистым хвостом в виде трубы и большими выразительными глазами", "...на пол - аршина от земли", потом в тексте упоминается "крутой лобик собачки". Становится ясно, что речь идёт о породе, которая сейчас именуется "кавалер - кинг - чарльз - спаниель"! Именно представители данного вида спаниелей обладают всеми этими признаками в совокупности.

Если щенок, которого Герасим нашёл полуживым в реке, был породистым, то по какой же причине его выбросили в эту самую реку?
Муму была чёрно - белой, а этот окрас считается у кавалеров - кинг - чарльз - спаниелей большим пороком! Они имеют право быть трёхцветными, чёрно - подпалыми, каштановыми и каштаново - белыми, но не чёрно - белыми! Возможно, за нестандартный окрас Муму и была утоплена в первый раз.