скажите пожалуйста, можно ли посадить или как-то наказать человека, который убил свою собаку?

http://www.zooclub.ru/zakon/4.shtml Достаточно полная информация по Вашему вопросу.
В г. Москве Приложение N 1 к постановлению правительства Москвы от 8 февраля 1994 г. N 101 О штрафных санкциях за нарушение законодательства РФ в области охраны животных и временных правил содержания собак и кошек в г. Москве. ЗАКОН ГОРОДА МОСКВЫ устанавливает размеры, порядок наложения и взимания штрафов за нарушения правил охраны и содержания животных в городе Москве, предусмотренных действующим законодательством Российской Федерации, постановлением Правительства Москвы от 8 февраля 1994 года N 101 "Об утверждении Временных правил содержания собак и кошек в городе Москве и Временного положения по отлову и содержанию безнадзорных собак и кошек в городе Москве
Закон РФ "О защите животных от жестокого обращения".
Статья 17. Содержание животных
1. Условия содержания животного должны соответствовать его биологическим особенностям
Статья 19. Особенности права собственности и других вещных прав на животных
1. Полномочия собственников животных и иных лиц, содержащих животных, ограничены необходимостью соблюдения норм и требований настоящего закона, нормативных и правовых актов Российской Федерации и законодательства субъектов Российской Федерации.
Собственник (владелец) животного при использовании своих прав обязан учитывать требования к обращению с животными, исключающие жестокость