ребёнок едет в Абхазию с мамой, нужно разрешение отца? Или турфирмы себя перестраховывают, говоря, что нужно.

Никаких разрешений не нужно, тем более в Абхазию. Вам нужно будет только подтвердить родство. Это не проблема, если ребёнок вписан у вас в паспорт, ну и захватите с собой свидетельство о рождении. Сам по юности ездил 3 раза с матерью в Абхазию, никаких проблем.

Разрешение нужно, если без родителей ребенок едет. А с мамой - ничего не надо.

Первое, что нужно помнить, чтобы избежать неразберихи: когда мы едем в отпуск за рубеж, пересекаем две границы. Сначала выезжаем из России, потом въезжаем в другую страну. У наших пограничников одни требования, у иностранных могут быть совсем другие.
ВЫЕЗЖАЕМ ИЗ РОССИИ
Ребенок (до 18 лет) едет с одним из родителей – мамой или папой. Согласие второго не требуется (ст. 20 Федерального закона «О порядке выезда из РФ и въезда в РФ» от 15 августа 1996 г. № 114 - ФЗ - Несовершеннолетний гражданин Российской Федерации, как правило, выезжает из Российской Федерации совместно хотя бы с одним из родителей, усыновителей, опекунов или попечителей.
В случае, если несовершеннолетний гражданин Российской Федерации выезжает из Российской Федерации без сопровождения, он должен иметь при себе кроме паспорта нотариально оформленное согласие названных лиц на выезд несовершеннолетнего гражданина Российской Федерации с указанием срока выезда и государства (государств) , которое (которые) он намерен посетить.
Абхазия – по российскому паспорту.
Если ребенок едет без родителей. Наши пограничники попросят согласие одного из родителей. Украинские и абхазские пограничники дополнительных документов не потребуют.