Откуда пошло выражение "иди в баню"? Почему именно в баню?

Это эвфемизм, ритмически звучащий так же, как и выражение, им замещаемое. Т. е. после "Пошёл ты... " требуется односложный хорей. У меня коллега (дама) в таких случаях употребляет "... лЕсом".

А появился он - не помню когда. Но довольно давно, я нашёл в тексте 1964 года:

Через минуту примчался сам Роман.
-- Давай ключи.
Я помотал головой.
-- Не дам.
-- Давай ключи!
-- Иди ты в баню. Я лицо материально ответственное.
А. и Б. Стругацкие "Понедельник начинается в субботу"

Нельзя, собственно, понять национальной специфики этой языковой сферы без учета такой взаимозависимости. В синхронном словопроизводстве мы уже видели это, демонстрируя производные обсценного глагола. Диахронически эту связь можно показать анализом двух наиболее актуальных для русской бранной фразеологии типов ругательств - так называемых посылов и заклятий, т. е. пожеланий зла, неудачи или восклицаний, выражающих стремление избавиться, отделаться от кого-либо. Сакральность и обсценность, как увидим, здесь переплетается в единое целое.
1. Посылы к какому-либо мифологическому персонажу, олицетворяющему зло, губительное начало: Иди ты к черту! Иди ты к лешему! Пошел ты к чертям собачьим! (диал. сиб.) ; Ступай к чёрному (СФС, 182) - Поди ты к чомеру! (СФС, 144), Иди к лесному! (СФС, 82) и т. п.
Такой посыл может выражаться не прямым наименованием черта, а указанием на место его пребывания: Иди ты в болото! А ну тебя в баню! А ну его на лысую гору! А ну его на лысую гору к ведьмам! (диал. брянск. ) Вертись ты в вир на дно! (СРНГ 4, 291), где вир 'глубокое место в реке или озере; омут, водоворот или топкое место, провал в болоте'. Эта замена вполне объяснима ономасиологическими моделями наименования славянских чертей (см. Толстой, 1974; 1976). К этому разряду относятся и обороты полуэвфемистического характера, возникшие на основе таких, восходящих к язычеству, посылов, но шутливо-иронически переосмысленных в "христианском" либо "мусульманском" ключе: Иди ты к богу в рай! Иди ты к аллаху! Достаточно условно к этому разряду можно отнести и сакральную экспрессивную лексику и фразеологию типа Боже ты мой! Пресвятая мать! Мать пречистая! Батюшки святы! Они, однако, в русском языке менее активны, чем в романских и германских языках и во многом подвержены обсценной модели, где слово мать, как мы видели, имеет десакрализованный источник.
2. Пожелания зла и неудачи, выраженные мифологемами аналогичного типа, что в разряде I: Черт тебя возьми! Черт тебя подери! (Новг. ) Памха бы тя побрала! , где памха 'черт, живущий на болоте' (ср. памха 'моховое болото' (Строгова, 1971), смол. Анчут вас возьми! (ряз. ) Паралик тебя возьми! и т. п. (Мокиенко, 1986, 182-183).
Для заклятий этой группы характерна постоянная связь, даже более того - семантический синкретизм значений 'черт, нечистый дух' > 'болезнь'. Она регулярно прослеживается в демонологическом "именослове" славянскихи балтийских языков (Eckert, 1991, 120-121). Недавно такую связь продемонстрировал на примере семантического анализа диалектного слова чемер 'злой дух, черт' Н. И. Толстой, сопоставивший эту демонологическую модель с выражениями типа Холера его забери! (Толстой, 1992). Ср. диалектизмы типа сиб. Лихоманка тебя возьми! (СФС, 100), смол. Лихач тебя убей! (Добр. , 37), Родимец тебя забей! (Добр. , 37), курск. Трясца тебя ухвати! (Бусл. , 1854, 146) и т. п.