Я медработник, работаю акушеркой в роддоме, на данный момент проживаю в Москве (регистрация) , стою на учет

Ну не новый он никак)
Военнообязанные всегда должны были состоять на учете по месту жительства.. .
Сходите в военкомат, быть может и без поездки все решаемо.

На воинском учёте вы должны стоять по месту постоянной регистрации.
Если вы выезжаете на срок более 3х месяцев - по месту пребывания.
Никаких "и без поездки все решаемо" или "просто идете в военкомат пишите заявление" - снятие и постановка на воинский учёт производится при личном посещении военкомата.
Этому "новому закону" более 10 лет.
Что делать? - исполнять Закон, иначе штраф и вам и вашему работодателю.

А вы откройте свой военный билет на последних страницах и почитайте там правила воинского учета, которые вы обязаны соблюдать до исполнения вам 45 лет. И за их невыполнение в указанный срок предусмотрена административная ответственность в виде штрафа 500р.

В московский военкомат вы конечно можете пойти при наличии регистрации и попробовать встать на воинский учет, но далеко не факт, что вам разрешат это сделать без предварительного снятия в военкомате по прежнему месту жительства. Как говорят, попытка не пытка, может быть и получится. А если откажут, что между прочим полностью соответствует Закону, то вам придется ехать в свой город Георгиевск и сниматься там с учета. Дистанционного снятия с учета для граждан состоящих в запасе Законом вообще не предусмотрено.

Никаких новых законов по этому поводу не принималось. Это положение действует еще со времен СССР.